a< 1 - SUUGAKU.JP

1
a を定数とする．x についての方程式
(x ¡ 4)(x ¡ 2) = ax ¡ 5a +
1
2
D
が相異なる 4 つの実数解をもつとき，a の範囲は，
ア
+
イ
<a<
1
ウ
である．
（早稲田大学 2015 ）
2
正の実数 a に対して，座標平面上で次の放物線を考える．
C : y = ax2 +
1 ¡ 4a2
4a
a が正の実数全体を動くとき，C の通過する領域を図示せよ．
（東京大学 2015 ）
3
` を座標平面上の原点を通り傾きが正の直線とする．さらに，以下の 3 条件 ‘，’，“ で定まる円
C1 ，C2 を考える．
‘ 円 C1 ，C2 は 2 つの不等式 x = 0，y = 0 で定まる領域に含まれる．
’ 円 C1 ，C2 は直線 ` と同一点で接する．
“ 円 C1 は x 軸と点 (1; 0) で接し，円 C2 は y 軸と接する．
円 C1 の半径を r1 ，円 C2 の半径を r2 とする．8r1 + 9r2 が最小となるような直線 ` の方程式と，その最小
値を求めよ．
（東京大学 2015 ）
4
s; t を s < t をみたす実数とする．座標平面上の 3 点 A(1; 2)，B(s; s2 )，C(t; t2 ) が一直線上にあると
する．以下の問に答えよ．
(1) s と t の間の関係式を求めよ．
(2) 線分 BC の中点を M(u; v) とする．u と v の間の関係式を求めよ．
(3) s; t が変化するとき，v の最小値と，そのときの u; s; t の値を求めよ．
（神戸大学 2015 ）
5
実数 a に対し，xy 平面上の放物線 C : y = (x ¡ a)2 ¡ 2a2 + 1 を考える．次の問いに答えよ．
(1) a がすべての実数を動くとき，C が通過する領域を求め，図示せよ．
(2) a が ¡1 5 a 5 1 の範囲を動くとき，C が通過する領域を求め，図示せよ．
（横浜国立大学 2015 ）
6
t を媒介変数として，x = t +
5
2
1
+
，y = 2t ¡
で表される曲線を考える．次の問いに答えよ．
t
2
t
(1) t を消去して，x と y の関係式を求めよ．
(2) a を定数とするとき，直線 y = ax + 5 とこの曲線との共有点の個数を調べよ．
（琉球大学 2015 ）
7
2 つの点 A(1; ¡2; 3)，B(3; 2; 2) と xy 平面上を動く点 P について考える．線分 AP の長さと線分 PB
m
の長さの和の最小値を m としたとき， p の値を求めよ．
5
（自治医科大学 2015 ）
8
円 C : x2 + y2 = 20 と円 C の外部に存在する点 R(8; a)（ a は負の実数）について考える．点 R を通り
円 C に接する直線は 2 つ存在する．この 2 つの直線が円 C と接する点を P，Q とする（点 P，Q の x 座標
をそれぞれ p; q とする）．ÎPRQ = 60± となるとき， a + p + q の値を求めよ．
（自治医科大学 2015 ）
9
原点を中心とする半径 1 の円を C とし，x 軸上に点 P(a; 0) をとる．ただし a > 1 とする．P から C へ引
いた 2 本の接線の接点を結ぶ直線が x 軸と交わる点を Q とする．
(1) Q の x 座標を求めよ．
PR
が R によらず一定であることを示し，その値を a を用いて表せ．
QR
(3) C 上の点 R が ÎPRQ = 90± をみたすとする．このような R の座標と線分 PR の長さを求めよ．
(2) 点 R が C 上にあるとき，
（名古屋大学 2014 ）
10 座標平面上に，原点を中心とする半径 1 の円と，その円に外接し各辺が x 軸または y 軸に平行な正方形が
¼
）における接線と正方形の隣接する 2 辺がなす三角
2
形の 3 辺の長さの和は一定であることを示せ．また，その三角形の面積を最大にする µ を求めよ．
ある．円周上の点 (cos µ; sin µ)（ただし 0 < µ <
（千葉大学 2014 ）

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