x ¡ 2 - SUUGAKU.JP

1
a を定数とする．x についての方程式
(x ¡ 4)(x ¡ 2) = ax ¡ 5a +
1
2
D
が相異なる 4 つの実数解をもつとき，a の範囲は，
ア
+
イ
<a<
1
ウ
である．
2
正の実数 a に対して，座標平面上で次の放物線を考える．
（早稲田大学 2015 ）
C : y = ax2 +
1 ¡ 4a2
4a
a が正の実数全体を動くとき，C の通過する領域を図示せよ．
（東京大学 2015 ）
3
` を座標平面上の原点を通り傾きが正の直線とする．さらに，以下の 3 条件 ‘，’，“
で定まる円 C1 ，C2 を考える．
4
s; t を s < t をみたす実数とする．座標平面上の 3 点 A(1; 2)，B(s; s2 )，C(t; t2 ) が一直線
上にあるとする．以下の問に答えよ．
‘ 円 C1 ，C2 は 2 つの不等式 x = 0，y = 0 で定まる領域に含まれる．
(1) s と t の間の関係式を求めよ．
’ 円 C1 ，C2 は直線 ` と同一点で接する．
(2) 線分 BC の中点を M(u; v) とする．u と v の間の関係式を求めよ．
“ 円 C1 は x 軸と点 (1; 0) で接し，円 C2 は y 軸と接する．
(3) s; t が変化するとき，v の最小値と，そのときの u; s; t の値を求めよ．
円 C1 の半径を r1 ，円 C2 の半径を r2 とする．8r1 + 9r2 が最小となるような直線 ` の方程式と，
その最小値を求めよ．
（東京大学 2015 ）
（神戸大学 2015 ）
5
実数 a に対し，xy 平面上の放物線 C : y = (x ¡ a)2 ¡ 2a2 + 1 を考える．次の問いに答えよ．
6
座標平面上の 2 つの直線 `1 ，`2 と円 C を，`1 : 3x ¡ y ¡ 1 = 0，`2 : x + 3y ¡ 3 = 0，
C : x2 + y2 ¡ 4x ¡ 2y + 3 = 0 と定めるとき，次の問に答えよ．
(1) a がすべての実数を動くとき，C が通過する領域を求め，図示せよ．
(2) a が ¡1 5 a 5 1 の範囲を動くとき，C が通過する領域を求め，図示せよ．
（横浜国立大学 2015 ）
(1) 直線 `1 と直線 `2 の交点の座標を求めよ．
(2) 円 C と直線 `1 との共有点の座標を求めよ．
(3) 円 C と直線 `2 との共有点の座標を求めよ．
(4) 連立不等式
W
(3x ¡ y ¡ 1)(x + 3y ¡ 3) 5 0
x2 + y2 ¡ 4x ¡ 2y + 3 5 0
の表す領域の面積を求めよ．
（立教大学 2015 ）
7
t を媒介変数として，x = t +
5
2
1
+ ，y = 2t ¡
で表される曲線を考える．次の問いに答
t
2
t
えよ．
(1) t を消去して，x と y の関係式を求めよ．
8
2 つの点 A(1; ¡2; 3)，B(3; 2; 2) と xy 平面上を動く点 P について考える．線分 AP の長さ
m
と線分 PB の長さの和の最小値を m としたとき， p の値を求めよ．
5
（自治医科大学 2015 ）
(2) a を定数とするとき，直線 y = ax + 5 とこの曲線との共有点の個数を調べよ．
（琉球大学 2015 ）
9
円 C : x2 + y2 = 20 と円 C の外部に存在する点 R(8; a)（ a は負の実数）について考える．点
10 連立不等式
R を通り円 C に接する直線は 2 つ存在する．この 2 つの直線が円 C と接する点を P，Q とする
（点 P，Q の x 座標をそれぞれ p; q とする）．ÎPRQ = 60± となるとき， a + p + q の値を
求めよ．
（自治医科大学 2015 ）
4x ¡ y 5 2
Y x+y=3
x ¡ y = ¡7
の表す領域を D とするとき，次の設問に答えよ．
(1) 領域 D を図示せよ．
(2) 点 (x; y) が D 内を動くとき，y ¡ 2x のとる値の最大値と最小値を求めよ．
（倉敷芸術科学大学 2015 ）

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