x + y − xy

練習 (対称式 N o.1)
x, y は 2 つの関係式
(x − y)2 − (x + y − xy) = 48, x + y + xy = 5
を満たしている。ただし，x + y > 0 とする。
(1) x2 + y 2 の値を求めよ。
(2) x + y, xy の値を求めよ。
√
1
1
(3) A = + y, B = + x とするとき， A2 + B 2 の値を求めよ。
x
y
〔解答〕
1
(1) (x − y)2 − (x + y − xy) = 48 · · · ⃝
2
x + y + xy = 5 · · · ⃝
1 より
⃝
x2 + y 2 − (x + y + xy) = 48
2 より。
⇐⇒ x2 + y 2 − 5 = 48 (⃝
)
⇐⇒ x2 + y 2 = 53
(2) (1) の結果から
x2 + y 2 = 53
⇐⇒
(x + y)2 − 2xy = 53
3
t = x + y, u = xy とおくと t2 − 2u = 53 · · · ⃝
2 より t + u = 5 · · · ⃝
4
⃝
3 +2×⃝
4 より
⃝
t2 + 2t = 63
⇐⇒ (t + 9)(t − 7) = 0
t = x + y > 0 より t = 7
4 より u = −2
⃝
したがって x + y = 7, xy = −2
(
(3) A2 + B 2 =
1
+y
x
)2
(
+
)2
1
+x
y
←−
対称式です
::::::::::::::::::::::
=
1
y
1
x
+ 2 · + y 2 + 2 + 2 · + x2
2
x
x
y
y
x2 + y 2
x2 + y 2
+
2
·
+ x2 + y 2
(xy)2
xy
{
}
1
1
2
2
= (x + y )
+2·
+1
(xy)2
xy
(
)2
1
2
2
= (x + y )
+1
xy
(
)2
1
= 53 · − + 1
2
1
= 53 · 2
2
√
√
53
2
2
よって A + B =
2
=
対称式
=⇒ x + y, xy(基本対称式)
のみに変形

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