(1) 方程式 25x + 9y = 1

1
次の問いに答えよ．
(1) すべての実数 x; y に対して x2 + y2 + 2axy + 2bx + 1 = 0 が成り立つとする．このとき，実
数 a; b が満たすべき条件を求め，その条件を満たす点 (a; b) のなす領域を座標平面上に図示
4
(1) 方程式 25x + 9y = 1 の整数解をすべて求めよ．
(2) 方程式 25x + 9y = 33 の整数解をすべて求めよ．さらに，これらの整数解のうち， x + y の
せよ．
(2) (1) の領域を点 (a; b) が動くとき a2 + b の最大値と最小値を求めよ．
2
3 つの実数 x; y; 12 ¡ x2 を 3 辺の長さとする三角形が描けるような点 P(x; y) が存在する領
値が最小となるものを求めよ．
(3) 2 つの方程式 25x + 9y = 33，xy = ¡570 を同時に満たす整数解をすべて求めよ．
5
域を平面上に図示せよ．また，その領域の面積を求めよ．
3
座標平面上に，原点を中心とする半径 1 の円と，その円に外接し各辺が x 軸または y 軸に平行
¼
な正方形がある．円周上の点 (cos µ; sin µ)（ただし 0 < µ <
）における接線と正方形の隣
2
接する 2 辺がなす三角形の 3 辺の長さの和は一定であることを示せ．また，その三角形の面積
を最大にする µ を求めよ．
次の問いに答えよ．
不等式 2 x + 3 y 5 30 の表す領域における点の座標を (a; b) とする．a; b ともに整数とな
る点の個数を p としたとき，n <
6
p
< n + 1 となる自然数 n の値を求めよ．
100
k; m; n を自然数とする．以下の問いに答えよ．
(1) 2k を 7 で割った余りが 4 であるとする．このとき，k を 3 で割った余りは 2 であることを示せ．
(2) 4m + 5n が 3 で割り切れるとする．このとき，2mn を 7 で割った余りは 4 ではないことを示せ．
7
次の条件 ‘，’，“ を同時に満たす整数の組 (x; y) をすべて求めよ．
‘ y は x の整数倍である
’ x=2
“ x2 + 6! = y2

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