平成 27 年度東京海洋大学海洋工学部個別学力検査数学試験問題 1

平成 27 年度
東京海洋大学海洋工学部
個別学力検査数学試験問題
1
（配点 25 点）
△OAB に対して，辺 OA の中点を L，辺 AB の中点を M，線分 OM を 1 : 2 に内分する
点を P とする．また，直線 OB と直線 AP の交点を N，直線 OM と直線 BL の交点を Q，
−→
−→
直線 AN と直線 BL の交点を R とする．OA = ⃗a，OB = ⃗b とおく．
−→
−→
(1) OP および ON を ⃗a，⃗b を用いて表せ．
−→
−→
(2) OQ および OR を ⃗a，⃗b を用いて表せ．
(3) 線分の長さの比 BQ : QR : RL を求めよ．
(4) △OAB の面積を S1 ，△PQR の面積を S2 とするとき，
2
S2
を求めよ．
S1
（配点 25 点）
O を原点とする座標平面上に放物線 C : y = x2 と点 P (a, b)（ただし，a > 0 かつ b < a2 ）
がある．P を通り y 軸に平行な直線 l が，C および x 軸と交わる点をそれぞれ Q，R と
−→ −−→
−→ −→
する．PQ = QM となるように点 M を，また PR = ON となるように点 N をとる．直線
MN が C と交わる点を A，B とする．
(1) 直線 AP および直線 BP は，それぞれ C の接線であることを示せ．
(2) C と線分 AB で囲まれる図形の面積は，l により二等分されることを示せ．
3
（配点 25 点）
座標平面上の曲線 K を y = x3 − x + 1 とする．
(1) 点 (t, t3 − t + 1) における K の接線の方程式を t を用いて表せ．
(2) 点 (1, 5) を通る直線 l が K と接するとき，接点の座標を求めよ．
(3) 直線 l と K で囲まれた図形の面積を求めよ．
∫
x4
ただし， x3 dx =
+ C （C は積分定数）を用いてよい．
4
4-I ， 4-II どちらかを選択
4 -I
（配点 25 点）
座標平面上に曲線 C : y = x4 − 2x2 + 2x がある．直線 l は C に異なる 2 点で接してい
∫
x5
4 ′
3
4
る．このとき以下の問いに答えよ．ただし (x ) = 4x および x dx =
+ D （D は
5
積分定数）となることを用いてよい．
(1) l の方程式を求めよ．
(2) C と l で囲まれる図形の面積を求めよ．
(3) 実数 a に対して，点 (0, a) を通る C の接線の本数を求めよ．
4 - II
（配点 25 点）
関数 f (x) はすべての実数 x について
∫
f (x) = x + e
x
x
e−t f (t) dt
0
を満たす．
(1) f (0) の値を求めよ．
(2) f ′ (x) = 2f (x) − x + 1 が成り立つことを示せ．
(3) g(x) = e−2x f (x) とする．g ′ (x) を求めよ．
(4) f (x) を求めよ．

Download Report