a ，¡! (1) - SUUGAKU.JP

1
¡! ¡
! ¡! ¡
!
三角形 OAB において，OA = a ，OB = b とする．また，線分 OB を 2 : 3 に内分する点を C，線分 AC
の中点を P とする．さらに直線 OP と線分 AB の交点を D とおく．
¡! ¡
! ¡
!
¡!
(1) OP を a と b を用いて表すと，OP =
¡! ¡
! ¡
!
¡!
(2) OD を a と b を用いて表すと，OD =
¡
!
a +
¡
!
a +
ツ
¡
!
b である．
¡
!
b である．
テ
M
(3) 三角形 OPC の面積を M，三角形 ADP の面積を N とおくとき，
の値は
N
タ
チ
ト
である．
（北里大学 2015 ）
2
¡
!
¡
!
¡
!
¡
! ¡
!
3 つの空間ベクトル a = (2; 1; ¡2)， b = (3; 4; 0)， c = (x; y; z) について考える． c は a と
p
¡
!
¡
!
b の両方に垂直であり，j c j = 2 5 となる． z の値を求めよ．
（自治医科大学 2014 ）
3
p
p
xy 座標平面上に A(3 3; 7)，B( 3; ¡5)，C(0; ¡2) の 3 点がある．
¡!
(1) jABj を求めよ．
¡! ¡!
(2) CA と CB のなす角 µ を求めよ．ただし，0± 5 µ 5 180± とする．
(3) 線分 AB を 2 : 3 で内分する点を P としたとき，4APC の面積 S を求めよ．
（安田女子大学 2014 ）
4
¡
!
¡
!
2 つのベクトル a = (¡1; 1; ¡1) と b = (1; 2; 4) について次の設問に答えよ．
¡
!
¡
! ¡
!
(1) a + t b と a が垂直となるように実数 t の値を定めよ．
¡
! ¡
!
(2) a と b の両方に垂直な単位ベクトルを求めよ．
（奈良教育大学 2013 ）
5
4ABC において，辺 AC を 3 : 2 に内分する点を D とし，線分 BD を 2 : 1 に内分する点を E とする．
¡!
¡
! ¡!
¡
!
¡! ¡
! ¡
!
¡!
AB = a ，AC = b とするとき，AE を a と b を用いて表すと，AE =
である．また，直線
AE と辺 BC との交点を F とするとき，比 BF : FC を求めると
である．
（福岡大学 2013 ）
6
p
¡
! ¡
!
¡
! ¡
!
¡
! ¡
!
平面上のベクトル a ; b が j a ¡ b j = 5 と j2 a ¡ b j = 2 を満たしている．このとき，次の問いに答
えよ．
¡
!
¡
!
¡
! ¡
!
(1) j a j = k とするとき，j b j と a ¢ b をそれぞれ k を用いて表せ．
¡
! ¡
!
¡
!
¡
!
¼
(2) a と b のなす角が
であるとき，j a j と j b j の値をそれぞれ求めよ．
4
（和歌山大学 2012 ）

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