2 (0 ≦ x ≦ 1)

年番号
1
数直線上の座標 x に点 P があるとき，表と裏がそれぞれ
1
の確率で出る硬
2
2
貨 2 枚を 1 回投げて，点 P の位置を次のように決める．
“ 表と裏が 1 枚ずつ出たときは，移動しない．
点 P の最初の位置を座標 0 とする．硬貨 2 枚を 5 回投げ終わったときに，点
P が次の位置にある確率をそれぞれ求めよ．
OA = OB = 1 をみたす二等辺三角形 OAB において，辺 AB を 1 : 3 に
内分する点を P，辺 OB の中点を Q，直線 OP と直線 AQ の交点を R，直線
¡
! ¡! ¡
! ¡!
BR と辺 OA の交点を S とし， a = OA， b = OB とおく．このとき，直
‘ 2 枚とも表が出たときは，座標 x + 1 に移動する．
’ 2 枚とも裏が出たときは，座標 x ¡ 1 に移動する．
氏名
線 BS は辺 OA と直交しているとする．
¡! ¡
! ¡
!
(1) ベクトル OR を a と b を用いて表せ．
¡
! ¡
! ¡
!
(2) ベクトル BS を a と b を用いて表せ．
¡
! ¡
!
(3) 内積 a ¢ b を求めよ．
(4) 三角形 OAB の面積を求めよ．
(1) 座標 4
（大阪府立大学 2014 ）
(2) 座標 3
(3) 座標 0
（大阪府立大学 2014 ）
3
a は正の定数とし，曲線 C1 : y = ax2 (0 5 x 5 1) と C2 : y =
1
(x ¡ 1)2 (0 5 x 5 1) および x 軸で囲まれる部分の面積を S(a) と
a
する．
(1) C1 と C2 の交点の x 座標を求めよ．
(2) S(a) を求めよ．
(3) a がすべての正の実数を動くとき，S(a) の最大値とそれを与える a の値を
求めよ．
（大阪府立大学 2014 ）
4
数列 fan g の初項 a1 から第 n 項 an までの和 Sn が
Sn = 2an + n 2 ¡ n
(n = 1; 2; 3; Ý)
をみたすとする．
(1) a1 と a2 を求めよ．
(2) an+1 ¡ 2an を n の式で表せ．
(3) bn = an+1 ¡ an ¡ 2 (n = 1; 2; 3; Ý) とおくと，数列 fbn g は等比数列
となることを示し，初項 b1 と公比を求めよ．
(4) an を n の式で表せ．
（大阪府立大学 2014 ）

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