平成 27 年度東京海洋大学海洋工学部個別学力検査数学試験問題 1

平成 27 年度
東京海洋大学海洋工学部
個別学力検査数学試験問題
1
（配点 25 点）
座標平面上の 3 点 P0 (1, 0)，Q0 (1, 3)，P1 (−
1
, 3) に対して，点 Pn ，Qn を以下で定
2
める．
−−−→
1 −−−−−−→
Pn Qn = − Pn−1 Qn−1 ,
4
−−−−−→
1 −−−−−→
Qn Pn+1 = − Qn−1 Pn (n = 1, 2, 3, · · · )
4
(1) Q1 ，P2 の座標を求めよ．
−−−−→
(2) n = 1, 2, 3, · · · に対して，Pn−1 Pn の成分を求めよ．
(3) n = 0, 1, 2, · · · に対して，Pn の座標を求めよ．
2
（配点 25 点）
4OAB に対して，辺 OA の中点を L，辺 AB の中点を M，線分 OM を 1 : 2 に内分する
点を P とする．また，直線 OB と直線 AP の交点を N，直線 OM と直線 BL の交点を Q，
−→
−→
直線 AN と直線 BL の交点を R とする．OA = ~a，OB = ~b とおく．
−→
−→
(1) OP および ON を ~a，~b を用いて表せ．
−→
−→
(2) OQ および OR を ~a，~b を用いて表せ．
(3) 線分の長さの比 BQ : QR : RL を求めよ．
(4) 4OAB の面積を S1 ，4PQR の面積を S2 とするとき，
1
S2
を求めよ．
S1
3
（配点 25 点）
O を原点とする座標平面上に放物線 C : y = x2 と点 P (a, b)（ただし，a > 0 かつ b < a2 ）
がある．P を通り y 軸に平行な直線 l が，C および x 軸と交わる点をそれぞれ Q，R と
−→ −−→
−→ −→
する．PQ = QM となるように点 M を，また PR = ON となるように点 N をとる．直線
MN が C と交わる点を A，B とする．
(1) 直線 AP および直線 BP は，それぞれ C の接線であることを示せ．
(2) C と線分 AB で囲まれる図形の面積は，l により二等分されることを示せ．
4-I ， 4-II どちらかを選択
4 -I
（配点 25 点）
座標平面上に曲線 C : y = x4 − 2x2 + 2x がある．直線 l は C に異なる 2 点で接してい
Z
x5
4 0
3
る．このとき以下の問いに答えよ．ただし (x ) = 4x および x4 dx =
+ D（D は
5
積分定数）となることを用いてよい．
(1) l の方程式を求めよ．
(2) C と l で囲まれる図形の面積を求めよ．
(3) 実数 a に対して，点 (0, a) を通る C の接線の本数を求めよ．
4 - II
（配点 25 点）
関数 f (x) はすべての実数 x について
f (x) = x + e
Z
x
x
e−t f (t) dt
0
を満たす．
(1) f (0) の値を求めよ．
(2) f 0 (x) = 2f (x) − x + 1 が成り立つことを示せ．
(3) g(x) = e−2x f (x) とする．g 0 (x) を求めよ．
(4) f (x) を求めよ．
2

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