(1) ¡! (2) j

1
1 辺の長さが 1 の正四面体 OABC があり，その辺 OA，AB，
¡
! ¡! ¡
! ¡!
BC の中点をそれぞれ P，Q，R とし， a = OA， b = OB，
¡
! ¡!
c = OC とおく．
3
O を原点とする座標空間に 3 つの点 A(2; 1; 0)，
¡! ¡
! ¡! ¡
!
B(5; 2; ¡1)，C(1; ¡5; 1) をとる．OA = a ，OB = b ，
¡! ¡
!
OC = c とし，また，3 点 O，A，B を通る平面を S とする．
¡! ¡
! ¡
! ¡
!
(1) PR を a ; b ; c を用いて表せ．
¡!
(2) jPRj を求めよ．
¡
!
¡
!
(1) j a j，j b j を求めよ．また，cos ÎAOB を求めよ．
(3) 4PQR の面積を求めよ．
(2) 4OAB の面積を求めよ．
このとき，以下の問いに答えよ．
（名城大学 2013 ）
2
正三角形 ABC において，線分 AB を 2 : 1 に内分する点を D，
線分 BC の中点を E，点 E から直線 AB に引いた垂線と AB の
¡!
¡
! ¡!
¡
!
交点を H とする．また，HB = a ; HE = b とする．次の
問いに答えよ．
¡! ¡!
(1) AB; AH;
¡! ¡
!
(2) CD を a ;
¡! ¡
!
DB を a を用いて表せ．
¡
!
b を用いて表せ．
¡! ¡!
(3) 線分 HE 上の点 F が AF ? CD を満たすとき，F は線分 EH
を 2 : 1 に内分することを示せ．
（長崎大学 2010 ）
(3) 点 C から平面 S に下ろした垂線と平面 S との交点を P とす
¡!
¡
!
¡
!
る．OP = s a + t b を満たす s; t を求めよ．
(4) 四面体 OABC の体積を求めよ．
（岩手大学 2015 ）
4
三角形 OAB の辺 OA，AB，BO を共通の比 m : n に内分す
¡! ¡
! ¡! ¡
!
る点を，それぞれ，R，P，Q とする．OA を a ，OB を b
とするとき，次の問いに答えなさい．
¡! ¡! ¡!
¡
! ¡
!
(1) OP; OQ; OR を，それぞれ，m; n; a ; b を用いて表し
なさい．
¡!
¡!
¡! ¡!
(2) jQRj2 ; jQPj2 の値，および，内積 QR ¢ QP を，それぞれ，
¡
! ¡
!
m; n; a ; b を用いて表しなさい．
(3) 三角形 OAB の重心 G と三角形 PQR の重心 H が一致するこ
とを示しなさい．
（福島大学 2015 ）

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