f(x) = x + sin 2x (0 ≦ x ≦ ¼)

年番号
1
4
関数
f(x) = x + sin 2x
を求めよ．
(0 5 x 5 ¼)
¼
¼
; f # ;; における C の接線 ` の方程式
4
4
を，t を用いて表しなさい．
(2) 直線 y = x と曲線 y = ¡x2 + 2x で囲まれた図形を直線
(3) 曲線 C，y 軸および接線 ` で囲まれた図形の面積 S を求めよ．
Z
(4) 不定積分
x sin 2x dx を求めよ．ただし，積分定数は省略
してもよい．
(5) 曲線 C，x 軸および直線 x = ¼ で囲まれた図形を x 軸のまわ
りに 1 回転させてできる立体の体積 V を求めよ．
（電気通信大学 2015 ）
¡
!
座標平面上に原点 O と 2 点 A(1; 0)，B(0; 1) をとり， a =
¡! ¡
! ¡!
¡!
OA， b = OB とする．点 C は jOCj = 1，0± < ÎAOC < 90± ，
¡! ¡!
0± < ÎBOC < 90± を満たすとする．OA ¢ OC = t とすると
き，次の問いに答えよ．
¡! ¡
! ¡
!
(1) OC を a ， b ，t を用いて表せ．
¡! ¡
! ¡
!
(2) 線分 AB と線分 OC の交点を D とする．OD を a ， b ，t を
用いて表せ．
(3) 点 C から線分 OA に引いた垂線と線分 AB の交点を E とす
る．D は (2) で定めた点とする．このとき，4OBD と 4CDE
の面積の和を t を用いて表せ．
（広島大学 2015 ）
3
サイコロを 3 回投げて出た目の数を順に p1 ，p2 ，p3 とし，x
の 2 次方程式
2p1 x2 + p2 x + 2p3 = 0
線 y = ¡x2 + 2x の交点で x 座標が 1 以下である点を Q とし，
Q の x 座標を t とする．このとき，点 P と点 Q の距離および s
(2) 関数 f(x) の増減を調べ，f(x) の極値を求めよ．
2
以下の問いに答えなさい．
p
(1) s を 0 5 s 5 2 を満たす実数とする．直線 y = x と直線
p
p
y = ¡x + 2s の交点を P とする．直線 y = ¡x + 2s と曲
に対して，曲線 C : y = f(x) を考える．以下の問いに答えよ．
(1) 曲線 C 上の点 #
氏名
ÝÝ (¤)
を考える．
(1) 方程式 (¤) が実数解をもつ確率を求めよ．
(2) 方程式 (¤) が実数でない 2 つの複素数解 ®; ¯ をもち，かつ
®¯ = 1 が成り立つ確率を求めよ．
(3) 方程式 (¤) が実数でない 2 つの複素数解 ®; ¯ をもち，かつ
®¯ < 1 が成り立つ確率を求めよ．
（東北大学 2015 ）
-1-
y = x のまわりに回転させてできる立体の体積を求めなさい．
（首都大学東京 2010 ）

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