1 x = 0 で定義される関数 f(x) = xe x 2 について次の問いに答 えよ.ただし,e は自然対数の底とする. る.f0 (2),f00 (2) を求めよ. 2 次導関数を g00 (x) とする.g0 (2e),g00 (2e) を求めよ. 1 2 x 上の 2 つ の 点 P(2p; p2 ), 4 Q(2q; q2 ) (p < q) における接線をそれぞれ `1 ,`2 とし , y する.P で ` と直交する直線が C と交わる点を Q(t; log t) とする.このとき s を t を用いて表せ. ( 名古屋市立大学 2014 ) : の底を e とする.また O は xy 平面上の原点とする. (1) 点 P を第 1 象限にある ` 上の点とし,線分 OP の長さを s と (2) f(x) の逆関数を g(x),g(x) の第 1 次導関数を g0 (x),第 放物線 C xy 平面上の曲線 C : y = log x および直線 ` : y = x に対し て,以下の問いに答えよ.ただし log x は自然対数とし ,そ (1) f(x) の第 1 次導関数を f0 (x),第 2 次導関数を f00 (x) とす 2 3 = ds を求めよ. dt (3) 線分 PQ の長さ PQ を t を用いて表せ.ただし ,t > 0 のと (2) s を変数 t の関数と考えたとき,導関数 き t > log t であることは既知としてよい. (4) 次の定積分の値を求めよ. `1 と `2 の交点を R とする. (1) ÎPRQ = µ とおくとき,cos µ を p; q を用いて表せ. 3 (2) ÎPRQ = µ が常に ¼ であるように P と Q が C 上を動く 4 とき,R が描く曲線の方程式を求めよ. (3) (2) の R が 描く曲線と x 軸で 囲まれ た 領域の 面積を 求 め よ .な お ,積 分の 計 算を す る 際に ,必 要ならば x B 1 2 #t ¡ ; (t > 0) とおいて置換積分せよ. t = ( 大阪府立大学 2006 ) I1 = Z e 1 t log t dt; I2 = Z e 1 (log t)2 dt; I3 = Z e 1 (log t)2 dt t (5) ` に垂直で C 上の点 A(e; 1) を通る直線を `0 とする.曲線 C および 3 直線 `; `0 ; y = ¡x + 1 とで囲まれる図形を D とする.D を直線 ` のまわりに回転してできる立体の体積 V を求めよ. ( 電気通信大学 2006 ) 4 6 以下の問いに答えなさい. p (1) s を 0 5 s 5 2 を満たす実数とする.直線 y = x と直線 p p y = ¡x + 2s の交点を P とする.直線 y = ¡x + 2s と曲 線 y = ¡x2 + 2x の交点で x 座標が 1 以下である点を Q と し,Q の x 座標を t とする.このとき,点 P と点 Q の距離お よび s を,t を用いて表しなさい. (2) 直線 y = x と曲線 y = ¡x2 + 2x で囲まれた図形を直線 y = x のまわりに回転させてできる立体の体積を求めなさい. ( 首都大学東京 2010 ) 次の問いに答えよ. (1) 直径 1 の球を球の中心から距離 a の平面で切って二つの部分 に分け たとき,中心を含まない部分の体積を求めよ.ただし ,0 < 1 a< 2 とする. (2) 1 辺の長さが 1 である立方体 ABCD-EFGH を考える.この 立方体に 内接する球と正四面体 ACFH との共通部分の体積を求めよ. ( 琉球大学 2013 ) 5 a を 正の 実数とし ,fn (x) = Z x 0 e¡at sin nt dt (n = 1; 2; 3; Ý) とおく.このとき,次の問いに答えよ. (1) lim fn (x) を求めよ. x!1 3 とするとき, lim fn (x) が最大となる自然数 n ,お 2 x!1 よびそのときの最大値を求めよ. (2) a = ( 旭川医科大学 2012 ) 7 x = 0 において連続関数 f(x) が不等式 f(x) 5 a + Z x 0 2tf(t) dt 2 をみたしているとする.g(x) = aex とするとき,下の問い 8 関数 f(x) = 2x + cos x がある.xy 平面上の曲線 y = f(x) ¼ の05x5 の部分を C とし ,C と直線 y = 2x,および 2 直線 x + 2y = 2 で囲まれた領域を D とする.領域 D を直線 y = 2x の周りに 1 回転してできる立体の体積を求めよう. に答えよ.ただし,a は 0 以上の定数である. Zx (1) 等式 g(x) = a + 2tg(t) dt を示せ. Zx 0 2 (2) h(x) = e¡x 2tf(t) dt とするとき,x > 0 において不 0 等式 h0 (x) 2 5 2axe¡x が成り立つことを示せ. (3) x = 0 において不等式 f(x) 5 g(x) が成り立つことを示せ. ( 東京学芸大学 2013 ) C 上の点 P(t; f(t)) から直線 y = 2x に下ろした垂線と直 線 y = 2x との交点を Q とする. 線分 PQ の長さは C cos t ア であり,点 Q の x 座標は イ t+ cos t ウ である.これから,OQ = s とおくと D s= エ %t + イ ウ cos t= V= Z p p 5¼ 2 2 5 5 C = ¼PQ2 ds オ ¼ Z カ C = ケ コサ 0 ¼2 ¼ 2 シ ¡ キ %cos2 t ¡ C cos2 t sin t= dt ク ス ¼ セソ である. ( 獨協医科大学 2014 )
© Copyright 2024 ExpyDoc