(1) f(x) - SUUGAKU.JP

1
x = 0 で定義される関数 f(x) = xe
x
2
について次の問いに答
えよ．ただし，e は自然対数の底とする．
る．f0 (2)，f00 (2) を求めよ．
2 次導関数を g00 (x) とする．g0 (2e)，g00 (2e) を求めよ．
1 2
x 上の 2 つの点 P(2p; p2 )，
4
Q(2q; q2 ) (p < q) における接線をそれぞれ `1 ，`2 とし，
y
する．P で ` と直交する直線が C と交わる点を Q(t; log t)
とする．このとき s を t を用いて表せ．
（名古屋市立大学 2014 ）
:
の底を e とする．また O は xy 平面上の原点とする．
(1) 点 P を第 1 象限にある ` 上の点とし，線分 OP の長さを s と
(2) f(x) の逆関数を g(x)，g(x) の第 1 次導関数を g0 (x)，第
放物線 C
xy 平面上の曲線 C : y = log x および直線 ` : y = x に対し
て，以下の問いに答えよ．ただし log x は自然対数とし，そ
(1) f(x) の第 1 次導関数を f0 (x)，第 2 次導関数を f00 (x) とす
2
3
=
ds
を求めよ．
dt
(3) 線分 PQ の長さ PQ を t を用いて表せ．ただし，t > 0 のと
(2) s を変数 t の関数と考えたとき，導関数
き t > log t であることは既知としてよい．
(4) 次の定積分の値を求めよ．
`1 と `2 の交点を R とする．
(1) ÎPRQ = µ とおくとき，cos µ を p; q を用いて表せ．
3
(2) ÎPRQ = µ が常に
¼ であるように P と Q が C 上を動く
4
とき，R が描く曲線の方程式を求めよ．
(3) (2) の R が描く曲線と x 軸で囲まれた領域の面積を求
めよ．なお，積分の計算をする際に，必要ならば x
B
1
2 #t ¡ ; (t > 0) とおいて置換積分せよ．
t
=
（大阪府立大学 2006 ）
I1 =
Z
e
1
t log t dt;
I2 =
Z
e
1
(log t)2 dt;
I3 =
Z
e
1
(log t)2
dt
t
(5) ` に垂直で C 上の点 A(e; 1) を通る直線を `0 とする．曲線
C および 3 直線 `; `0 ; y = ¡x + 1 とで囲まれる図形を D
とする．D を直線 ` のまわりに回転してできる立体の体積 V
を求めよ．
（電気通信大学 2006 ）
4
6
以下の問いに答えなさい．
p
(1) s を 0 5 s 5 2 を満たす実数とする．直線 y = x と直線
p
p
y = ¡x + 2s の交点を P とする．直線 y = ¡x + 2s と曲
線 y = ¡x2 + 2x の交点で x 座標が 1 以下である点を Q と
し，Q の x 座標を t とする．このとき，点 P と点 Q の距離お
よび s を，t を用いて表しなさい．
(2) 直線 y = x と曲線 y = ¡x2 + 2x で囲まれた図形を直線
y = x のまわりに回転させてできる立体の体積を求めなさい．
（首都大学東京 2010 ）
次の問いに答えよ．
(1) 直径 1 の球を球の中心から距離 a の平面で切って二つの部分
に分け
たとき，中心を含まない部分の体積を求めよ．ただし，0 <
1
a<
2
とする．
(2) 1 辺の長さが 1 である立方体 ABCD-EFGH を考える．この
立方体に
内接する球と正四面体 ACFH との共通部分の体積を求めよ．
（琉球大学 2013 ）
5
a を正の実数とし，fn (x) =
Z
x
0
e¡at sin nt dt (n
=
1; 2; 3; Ý) とおく．このとき，次の問いに答えよ．
(1) lim fn (x) を求めよ．
x!1
3
とするとき， lim fn (x) が最大となる自然数 n ，お
2
x!1
よびそのときの最大値を求めよ．
(2) a =
（旭川医科大学 2012 ）
7
x = 0 において連続関数 f(x) が不等式
f(x) 5 a +
Z
x
0
2tf(t) dt
2
をみたしているとする．g(x) = aex とするとき，下の問い
8
関数 f(x) = 2x + cos x がある．xy 平面上の曲線 y = f(x)
¼
の05x5
の部分を C とし，C と直線 y = 2x，および
2
直線 x + 2y = 2 で囲まれた領域を D とする．領域 D を直線
y = 2x の周りに 1 回転してできる立体の体積を求めよう．
に答えよ．ただし，a は 0 以上の定数である．
Zx
(1) 等式 g(x) = a +
2tg(t) dt を示せ．
Zx 0
2
(2) h(x) = e¡x
2tf(t) dt とするとき，x > 0 において不
0
等式
h0 (x)
2
5 2axe¡x が成り立つことを示せ．
(3) x = 0 において不等式 f(x) 5 g(x) が成り立つことを示せ．
（東京学芸大学 2013 ）
C 上の点 P(t; f(t)) から直線 y = 2x に下ろした垂線と直
線 y = 2x との交点を Q とする．
線分 PQ の長さは
C cos t
ア
であり，点 Q の x 座標は
イ
t+
cos t
ウ
である．これから，OQ = s とおくと
D
s=
エ
%t +
イ
ウ
cos t=
V=
Z
p
p
5¼
2
2 5
5
C
=
¼PQ2 ds
オ
¼ Z
カ
C
=
ケ
コサ
0
¼2
¼
2
シ
¡
キ
%cos2 t ¡
C
cos2 t sin t= dt
ク
ス
¼
セソ
である．
（獨協医科大学 2014 ）

Download Report