ABC ¼ 2 tanµ 1

1
1 つのコマと下の図のような 3 つのマス目 A，B，C がある．コマが A または B にあると
き，さいころを投げて出た目の数だけ C の方向にコマを進める．ただし，コマが途中で C
や A に来たら，逆の方向に折り返して進める．これを 1 回の操作とする．A または B で止
まった場合はその止まったマス目から操作を繰り返し，C に止まった場合は操作を終了す
る．例えば，A にコマがあり 3 の目が出たら A ! B ! C ! B とコマを進め，続けて操作
を繰り返したとき 5 の目が出たら B ! C ! B ! A ! B ! C と進めて操作を終了する．
最初にコマを A に置いて操作を始めるとき，次の問いに答えよ．
A
B
C
(1) 1 回の操作で終了する確率 p1 を求めよ．
(2) 2 回の操作で終了する確率 p2 を求めよ．
(3) n 回の操作で終了する確率 pn を n を用いて表せ．
¼
で与えられる数列 fan g について，次の問いに答えなさい．
2n+1
2 tan µ
を用いて，数列 fan g の漸化式を求めなさい．
(1) 正接の 2 倍角の公式 tan 2µ =
1 ¡ tan2 µ
an+1
(2) 極限値 lim
を求めなさい．
n!1 an
2
一般項が an = tan
3
点 O を中心とする半径 1 の円に内接する三角形 ABC があり，
¡!
¡!
¡! ¡
!
2OA + 3OB + 4OC = 0
をみたしている．この円上に点 P があり，線分 AB と線分 CP は直交している．次の問い
に答えよ．
¡! ¡!
¡!
(1) 内積 OA ¢ OB と jABj をそれぞれ求めよ．
(2) 線分 AB と線分 CP の交点を H とするとき，AH : HB を求めよ．
(3) 四角形 APBC の面積を求めよ．
4
次の問いに答えよ．
p
(1) x = 1 のとき，不等式 2 x > 1 + log x が成り立つことを証明せよ．
(2) 関数 y = x log x (x > 0) のグラフを曲線 C とする．定数 a に対し，曲線 C の接線で点
(a; 0) を通るものは何本あるか．
(3) (2) で定められた曲線 C とその傾き 2 の接線および直線 x = e¡2 で囲まれた部分の面積
を求めよ．
5
a > 0，b > 0 とし，座標平面上の楕円 K :
y2
x2
+ 2 = 1 上の 2 点 A(a cos µ; b sin µ)，
2
a
b
¼
¼
; ; b sin #µ +
;;のそれぞれにおける K の接線を `，m とする．ただ
2
2
¼
¼
; ; 0;，
し，0 5 µ 5
とする．2 直線 ` と m の交点を C(c; d) とし，さらに 2 点 D #a cos #µ +
4
2
E(c; 0) をとる．台形 CBDE の面積を S とする．次の問いに答えよ．
B #a cos #µ +
(1) c および d を a; b; µ を用いて表せ．
(2) S を a; b; µ を用いて表せ．
¼
の範囲を動くときの S の最大値，および，S が最大値をとるときの m
(3) µ が 0 5 µ 5
4
の傾きを a; b を用いて表せ．

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