OA = ¡!a ，¡! (1)

1
1 辺の長さが 1 の正四面体 OABC があ
3
り，その辺 OA，AB，BC の中点をそれ
¡
!
¡! ¡
!
ぞれ P，Q，R とし， a = OA， b =
¡! ¡
! ¡!
OB， c = OC とおく．
¡! ¡
! ¡
! ¡
!
(1) PR を a ; b ; c を用いて表せ．
¡!
(2) jPRj を求めよ．
(3) 4PQR の面積を求めよ．
（名城大学 2013 ）
2
三角形 OAB において，辺 OA を 1 : 2
¡!
¡
!
四面体 OABC があり，OA = a ，
¡!
¡
! ¡!
¡
!
OB = b ，OC = c とする．三角形
ABC の重心を G とする．点 D，E，P
¡!
¡
! ¡!
¡
! ¡!
¡!
を OD = 2 b ，OE = 3 c ，OP = 6OG
をみたす点とし，平面 ADE と直線 OP
の交点を Q とする．次の問いに答えよ．
¡! ¡
! ¡
! ¡
!
(1) OQ を a ; b ; c を用いて表せ．
(2) 三角形 ADE の面積を S1 ，三角形 QDE
S2
を求めよ．
の面積を S2 とするとき，
S1
(3) 四面体 OADE の体積を V1 ，四面体
V2
PQDE の体積を V2 とするとき，
を
V1
求めよ．
に内分する点を C，辺 OB を 3 : 1 に内
分する点を D，AD と BC の交点を P と
¡! ¡
! ¡! ¡
!
する．OA = a ，OB = b とするとき，
次の問いに答えよ．
（横浜国立大学 2016 ）
4
正三角形 ABC において，線分 AB を
2 : 1 に内分する点を D，線分 BC の
(1) AP : PD = t : 1 ¡ t (0 < t < 1) と
¡! ¡
! ¡
!
おくとき，OP を a と b と t を用いて
表せ．
¡! ¡
! ¡
!
(2) OP を a と b を用いて表せ．
(3) 直線 OP と辺 AB との交点を E とする
とき，AE : EB を求めよ．
¡! ¡!
(4) ÎAOB = 90± ，OP ? AB であるとき，
OA : OB : AB を求めよ．
（宇都宮大学 2014 ）
中点を E，点 E から直線 AB に引いた
垂線と AB の交点を H とする．また，
¡!
¡
! ¡!
¡
!
HB = a ; HE = b とする．次の問
いに答えよ．
¡! ¡!
(1) AB; AH;
¡! ¡
!
(2) CD を a ;
¡! ¡
!
DB を a を用いて表せ．
¡
!
b を用いて表せ．
¡! ¡!
(3) 線分 HE 上の点 F が AF ? CD を満た
すとき，F は線分 EH を 2 : 1 に内分す
ることを示せ．
（長崎大学 2010 ）

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