年番号氏名 1 関数 f(x) = x + sin 2x (0 ≦ x ≦ ¼)

年番号
1
氏名
関数
f(x) = x + sin 2x (0 5 x 5 ¼)
に対して，曲線 C : y = f(x) を考える．以下の問いに答えよ．
¼
¼
; f # ;; における C の接線 ` の方程式を求めよ．
4
4
(2) 関数 f(x) の増減を調べ，f(x) の極値を求めよ．
(1) 曲線 C 上の点 #
(3) 曲線 C，y 軸および接線 ` で囲まれた図形の面積 S を求めよ．
Z
(4) 不定積分
x sin 2x dx を求めよ．ただし，積分定数は省略してもよい．
(5) 曲線 C，x 軸および直線 x = ¼ で囲まれた図形を x 軸のまわりに 1 回転させてできる立体の体
積 V を求めよ．
（電気通信大学 2015 ）
2
¡
!
¡! ¡
!
¡!
座標平面上に原点 O と 2 点 A(1; 0)，B(0; 1) をとり， a = OA， b = OB とする．点 C は
¡!
¡! ¡!
±
±
jOCj = 1，0± < ÎAOC < 90 ，0± < ÎBOC < 90 を満たすとする．OA ¢ OC = t とするとき，
次の問いに答えよ．
¡! ¡
! ¡
!
(1) OC を a ， b ，t を用いて表せ．
¡! ¡
! ¡
!
(2) 線分 AB と線分 OC の交点を D とする．OD を a ， b ，t を用いて表せ．
(3) 点 C から線分 OA に引いた垂線と線分 AB の交点を E とする．D は (2) で定めた点とする．こ
のとき，4OBD と 4CDE の面積の和を t を用いて表せ．
（広島大学 2015 ）
3
サイコロを 3 回投げて出た目の数を順に p1 ，p2 ，p3 とし，x の 2 次方程式
2p1 x2 + p2 x + 2p3 = 0
ÝÝ (¤)
を考える．
(1) 方程式 (¤) が実数解をもつ確率を求めよ．
(2) 方程式 (¤) が実数でない 2 つの複素数解 ®; ¯ をもち，かつ ®¯ = 1 が成り立つ確率を求めよ．
(3) 方程式 (¤) が実数でない 2 つの複素数解 ®; ¯ をもち，かつ ®¯ < 1 が成り立つ確率を求めよ．
（東北大学 2015 ）
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4
以下の問いに答えなさい．
p
p
(1) s を 0 5 s 5 2 を満たす実数とする．直線 y = x と直線 y = ¡x + 2s の交点を P とする．直
p
線 y = ¡x + 2s と曲線 y = ¡x2 + 2x の交点で x 座標が 1 以下である点を Q とし，Q の x 座
標を t とする．このとき，点 P と点 Q の距離および s を，t を用いて表しなさい．
(2) 直線 y = x と曲線 y = ¡x2 + 2x で囲まれた図形を直線 y = x のまわりに回転させてできる立
体の体積を求めなさい．
（首都大学東京 2010 ）
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