1 3 をみたす実数 2 n は自然数,a は a > 3 標平面上の 3 点 A(1; 2),B(s; s2 ), とし,実数 x の関数 f(x) = Z x 0 s; t を s < t をみたす実数とする.座 n+1 (x¡µ)(a sin n¡1 µ¡sin C(t; t2 ) が一直線上にあるとする.以 µ) dµ を考える.ただし ,n = 1 のときは 下の問に答えよ. (1) s と t の間の関係式を求めよ. (2) 線分 BC の中点を M(u; v) とする.u sinn¡1 µ = 1 とする. Z ¼ Z ¼ 2 2 と v の間の関係式を求めよ. n sinn+1 µ dµ = sinn¡1 µ dµ (1) n + 1 0 0 (3) s; t が変化するとき,v の最小値と,そ を示せ. のときの u; s; t の値を求めよ. ¼ (2) f0 # ; = 0 をみたす n と a の値を求 2 ( 神戸大学 2015 ) めよ. ¼ (3) (2) で求めた n と a に対して,f # ; 2 を求めよ. ( 北海道大学 2015 ) 4 数列 fan g,fbn g,fcn g が a1 = 5,b1 = 7 をみたし,さらにすべての実数 x とす 2 n を 2 以上の整数とする.n 以下の正の べての自然数 n に対して 整数のうち,n との最大公約数が 1 とな るものの個数を E(n) で表す.たとえば E(2) = 1; E(3) = 2; E(4) = 2; Ý; x(an+1 x+bn+1 ) = Z x+cn cn (an t+bn ) dt をみたすとする.以下の問に答えよ. E(10) = 4; Ý (1) 数列 fan g の一般項を求めよ. である. (1) E(1024) を求めよ. (2) E(2015) を求めよ. (3) m を正の整数とし,p と q を異なる素数 E(n) 1 = とする.n = pm qm のとき n 3 が成り立つことを示せ. ( 一橋大学 2015 ) (2) cn = 3n¡1 のとき,数列 fbn g の一般項 を求めよ. (3) cn = n のとき,数列 fbn g の一般項を 求めよ. ( 神戸大学 2015 ) 5 n を自然数とし,pn ; qn を実数とする. 6 ただし,p1 ; q1 は p21 ¡4q1 = 4 を満たす とする.2 次方程式 x2 ¡ pn x + qn = 0 ÎAOC < 90± ,0± < ÎBOC < 90± を満 ¡! ¡! たすとする.OA ¢ OC = t とするとき, は異なる実数解 ®n ; ¯n をもつとする. ただし,®n < ¯n とする.cn = ¯n ¡ ®n とおくとき,数列 fcn g は cn+1 n+2 = B cn n(n + 1) (n = 1; 2; 3; Ý) を満たすとする.次の問いに答えよ. p p (1) rn = log2 (n n + n) とするとき, B n+2 を rn ; rn+1 を用いて表せ. n(n + 1) (2) cn を n の式で表せ. p (3) pn = n n であるとき,qn を n の式で 座標平面上に原点 O と 2 点 A(1; 0), ¡ ! ¡! ¡ ! B(0; 1) をとり, a = OA, b = ¡! ¡! OB とする.点 C は jOCj = 1,0± < 次の問いに答えよ. ¡! ¡ ! ¡ ! (1) OC を a , b ,t を用いて表せ. (2) 線分 AB と線分 OC の交点を D とする. ¡! ¡ ! ¡ ! OD を a , b ,t を用いて表せ. (3) 点 C から線分 OA に引いた垂線と線 分 AB の交点を E とする.D は (2) で 定めた点とする.このとき,4OBD と 4CDE の面積の和を t を用いて表せ. 表せ. ( 広島大学 2015 ) ( 広島大学 2015 ) 7 f(p; q; r) = p3 ¡ q3 ¡ 27r3 ¡ 9pqr について,次の問いに答えよ. (1) f(p; q; r) を因数分解せよ. (2) 等式 f(p; q; r) = 0 と p2 ¡ 10q ¡ 30r = 11 との両方を満たす正の整数の 組 (p; q; r) をすべて求めよ. ( 旭川医科大学 2015 )
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