(2) f0 # ¼ 2 - SUUGAKU.JP

1
3
をみたす実数
2
n は自然数，a は a >
3
標平面上の 3 点 A(1; 2)，B(s; s2 )，
とし，実数 x の関数
f(x) =
Z
x
0
s; t を s < t をみたす実数とする．座
n+1
(x¡µ)(a sin
n¡1
µ¡sin
C(t; t2 ) が一直線上にあるとする．以
µ) dµ
を考える．ただし，n = 1 のときは
下の問に答えよ．
(1) s と t の間の関係式を求めよ．
(2) 線分 BC の中点を M(u; v) とする．u
sinn¡1 µ = 1 とする．
Z ¼
Z ¼
2
2
と v の間の関係式を求めよ．
n
sinn+1 µ dµ =
sinn¡1 µ dµ
(1)
n
+
1
0
0
(3) s; t が変化するとき，v の最小値と，そ
を示せ．
のときの u; s; t の値を求めよ．
¼
(2) f0 # ; = 0 をみたす n と a の値を求
2
（神戸大学 2015 ）
めよ．
¼
(3) (2) で求めた n と a に対して，f # ;
2
を求めよ．
（北海道大学 2015 ）
4
数列 fan g，fbn g，fcn g が a1 = 5，b1 =
7 をみたし，さらにすべての実数 x とす
2
n を 2 以上の整数とする．n 以下の正の
べての自然数 n に対して
整数のうち，n との最大公約数が 1 とな
るものの個数を E(n) で表す．たとえば
E(2) = 1;
E(3) = 2;
E(4) = 2;
Ý;
x(an+1 x+bn+1 ) =
Z
x+cn
cn
(an t+bn ) dt
をみたすとする．以下の問に答えよ．
E(10)
= 4; Ý
(1) 数列 fan g の一般項を求めよ．
である．
(1) E(1024) を求めよ．
(2) E(2015) を求めよ．
(3) m を正の整数とし，p と q を異なる素数
E(n)
1
=
とする．n = pm qm のとき
n
3
が成り立つことを示せ．
（一橋大学 2015 ）
(2) cn = 3n¡1 のとき，数列 fbn g の一般項
を求めよ．
(3) cn = n のとき，数列 fbn g の一般項を
求めよ．
（神戸大学 2015 ）
5
n を自然数とし，pn ; qn を実数とする．
6
ただし，p1 ; q1 は p21 ¡4q1 = 4 を満たす
とする．2 次方程式 x2 ¡ pn x + qn = 0
ÎAOC < 90± ，0± < ÎBOC < 90± を満
¡! ¡!
たすとする．OA ¢ OC = t とするとき，
は異なる実数解 ®n ; ¯n をもつとする．
ただし，®n < ¯n とする．cn = ¯n ¡ ®n
とおくとき，数列 fcn g は
cn+1
n+2
= B
cn
n(n + 1)
(n = 1; 2; 3; Ý)
を満たすとする．次の問いに答えよ．
p
p
(1) rn = log2 (n n + n) とするとき，
B n+2
を rn ; rn+1 を用いて表せ．
n(n + 1)
(2) cn を n の式で表せ．
p
(3) pn = n n であるとき，qn を n の式で
座標平面上に原点 O と 2 点 A(1; 0)，
¡
!
¡! ¡
!
B(0; 1) をとり， a = OA， b =
¡!
¡!
OB とする．点 C は jOCj = 1，0± <
次の問いに答えよ．
¡! ¡
! ¡
!
(1) OC を a ， b ，t を用いて表せ．
(2) 線分 AB と線分 OC の交点を D とする．
¡! ¡
! ¡
!
OD を a ， b ，t を用いて表せ．
(3) 点 C から線分 OA に引いた垂線と線
分 AB の交点を E とする．D は (2) で
定めた点とする．このとき，4OBD と
4CDE の面積の和を t を用いて表せ．
表せ．
（広島大学 2015 ）
（広島大学 2015 ）
7
f(p; q; r) = p3 ¡ q3 ¡ 27r3 ¡ 9pqr
について，次の問いに答えよ．
(1) f(p; q; r) を因数分解せよ．
(2) 等式 f(p; q; r) = 0 と p2 ¡ 10q ¡
30r = 11 との両方を満たす正の整数の
組 (p; q; r) をすべて求めよ．
（旭川医科大学 2015 ）

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