1 p ¡! ¡ ! ¡! ¡ ! ¡ ! ¡ ! ¡ ! ¡ ! 4ABC において,AB = b ,AC = c とおき,j b j = 1,j c j = 3, b ¢ c = 1 であるとす 4 る.辺 BC を 1 : 2 に内分する点を D,線分 AD に関して B と対称な点を E,直線 AE と辺 BC の交点を F とする.このとき,次の問いに答えよ. ¡! ¡ ! (1) AE を b ; ¡! ¡ ! (2) AF を b ; ¡ ! ¡! ¡ ! ¡! 座標平面上に原点 O と 2 点 A(1; 0),B(0; 1) をとり, a = OA, b = OB とする.点 C は ¡! ¡! ¡! jOCj = 1,0± < ÎAOC < 90± ,0± < ÎBOC < 90± を満たすとする.OA ¢ OC = t とするとき, 次の問いに答えよ. ¡ ! c を用いて表せ. ¡ ! c を用いて表せ. ¡! ¡ ! ¡ ! (1) OC を a , b ,t を用いて表せ. ¡! ¡ ! ¡ ! (2) 線分 AB と線分 OC の交点を D とする.OD を a , b ,t を用いて表せ. (3) DF : BC を求めよ. (3) 点 C から線分 OA に引いた垂線と線分 AB の交点を E とする.D は (2) で定めた点とする.こ のとき,4OBD と 4CDE の面積の和を t を用いて表せ. ( 静岡大学 2015 ) ( 広島大学 2015 ) 2 p p p 座標平面上の 3 点 A( 3; ¡2),B(3 3; 0),C(4 3; ¡5) を頂点とする三角形 ABC の外心を 5 D とする.このとき, ¡! AD = サ シ ¡! AB + 点 O を中心とする半径 1 の円に内接する三角形 ABC があり, ¡! ¡! ¡! ¡ ! 2OA + 3OB + 4OC = 0 ス セ ¡! AC をみたしている.この円上に点 P があり,線分 AB と線分 CP は直交している.次の問いに答 えよ. BE である.また,直線 AD と辺 BC の交点を E とすると, = EC ソ タ である. ( 早稲田大学 2015 ) ¡! ¡! ¡! (1) 内積 OA ¢ OB と jABj をそれぞれ求めよ. (2) 線分 AB と線分 CP の交点を H とするとき,AH : HB を求めよ. (3) 四角形 APBC の面積を求めよ. ( 横浜国立大学 2015 ) 3 平面上に長さ 2 の線分 AB を直径とする円 C がある.2 点 A,B を除く C 上の点 P に対し , AP = AQ となるように線分 AB 上の点 Q をとる.また,直線 PQ と円 C の交点のうち,P で ない方を R とする.このとき,以下の問いに答えよ. 6 O を原点とする座標空間の 2 点 P(cos t; sin t; 0),Q(cos 2t; sin 2t; cos t) について,次の問 いに答えよ.ただし,0 5 t 5 2¼ とする. (1) 4AQR の面積を µ = ÎPAB を用いて表せ. ¡! ¡! ¡! (2) 点 P を動かして 4AQR の面積が最大になるとき,AR を AB と AP を用いて表せ. ( 大阪大学 2015 ) ¡! ¡! (1) 2 つのベクトル OP,OQ は平行でないことを示せ. (2) 三角形 OPQ の面積 S(t) は t の値に関係なく一定であることを示せ. ¡! ¡! (3) OP,OQ のなす角 µ(t) のとる値の範囲を求めよ. ( 信州大学 2014 ) 7 四面体 OAPQ において,ÎAOP = ÎAOQ = ÎPOQ = 60± ,OA = 1,OP = p,OQ = q と し,頂点 A から平面 OPQ に下ろした垂線を AH とする.ただし,p 5 q とする.このとき,次 の問いに答えよ. (1) 4OAB の面積は 1 2 3 である. ¡! 2 ¡! 2 ¡! OC = OA + OB 3 3 (2) AH の長さを求めよ. (3) p + q = 3,および 4APQ の面積が 1 のとき,以下の値を求めよ. (2) p C (2) 点 C の位置を,位置ベクトル ¡! ¡! (1) 内積 AP ¢ AQ を p; q を用いて表せ. (1) pq 10 O を原点とする座標空間に,2 点 A(0; 1; 2),B(1; 2; 0) がある. によって定める.このとき,4ABC と 4OAB の面積の比は (3) 四面体 OAPQ の体積 ( 旭川医科大学 2015 ) 4 4ABC = 4OAB 5 である. ¡! ¡! (3) 2 つのベクトル OA,OB の両方に垂直な単位ベクトルのうちの 1 つは, 8 点 O を原点とする座標空間において,4 点 O,A(2; 0; 0),B(1; 2; 0),C(1; 1; 2) を頂点 C 6 とする四面体がある.点 O から平面 ABC に垂線 OH を下ろし ,直線 AH と直線 BC の交点を ¡ ! ¡! ¡ ! ¡! ¡ ! ¡! P とする. a = OA, b = OB, c = OC とするとき,次の問いに答えよ. ¡! ¡ ! ¡ ! ¡ ! (1) 実数 s; t; u を用いて,OH = s a + t b + u c とおくとき,s; t; u を求めよ. (2) 線分 BP と線分 PC の長さの比 BP : PC を求めよ. (3) 線分 AP の長さを求めよ. 7 ! 21 ; ¡ 8 9 ; 19 である. (4) t を実数として,点 D $ V(t) = t2 ; 4t; 19< を定める.このとき,四面体 ABCD の体積 V(t) は 4 10 11 12 ( 鳥取大学 2015 ) !t2 ¡ 13 t+ 14 15 9 である. (5) 数列 fan g を次のように定める. 9 座標空間内に 3 点 A(1; 1; 2),B(3; 5; 7),C(4; 4; 5) がある.また,s; t は実数であると a1 = 1; して,点 P(s; t; 4) を考える.このとき,以下の問いに答えよ. (1) 点 P が 3 点 A,B,C を通る平面上にあるための s; t の関係式を求めよ. (2) 点 P が直線 AB 上にあるときの s; t の値を求めよ. an+1 = an + このとき,V(an ) は,n = n+1 10 16 (n = 1; 2; 3; Ý) で最小となる. ( 慶應義塾大学 2015 ) (3) 点 P が 3 点 A,B,C を通る平面上を動くとき,その軌跡により三角形 ABC は二つの部分に 分けられる.この二つの部分の面積の比の値 r を求めよ.ただし,r = 1 とする. ( 大阪府立大学 2014 )
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