OA，¡!b = ¡! ¡!c = ¡! (1)

1
1 辺の長さが 1 の正四面体 OABC があり，その辺 OA，AB，
¡
! ¡! ¡
! ¡!
BC の中点をそれぞれ P，Q，R とし， a = OA， b = OB，
¡
! ¡!
c = OC とおく．
¡! ¡
! ¡
! ¡
!
(1) PR を a ; b ; c を用いて表せ．
¡!
(2) jPRj を求めよ．
3
三角形 OAB において，辺 OA を 1 : 2 に内分する点を C，辺
OB を 3 : 1 に内分する点を D，AD と BC の交点を P とする．
¡! ¡
! ¡! ¡
!
OA = a ，OB = b とするとき，次の問いに答えよ．
¡! ¡
!
(1) AP : PD = t : 1 ¡ t (0 < t < 1) とおくとき，OP を a と
¡
!
b と t を用いて表せ．
¡! ¡
! ¡
!
(2) OP を a と b を用いて表せ．
(3) 4PQR の面積を求めよ．
（名城大学 2013 ）
(3) 直線 OP と辺 AB との交点を E とするとき，AE : EB を求
めよ．
2
正三角形 ABC において，線分 AB を 2 : 1 に内分する点を D，
線分 BC の中点を E，点 E から直線 AB に引いた垂線と AB の
¡!
¡
! ¡!
¡
!
交点を H とする．また，HB = a ; HE = b とする．次の
問いに答えよ．
¡! ¡!
(1) AB; AH;
¡! ¡
!
(2) CD を a ;
¡! ¡
!
DB を a を用いて表せ．
¡
!
b を用いて表せ．
¡! ¡!
(3) 線分 HE 上の点 F が AF ? CD を満たすとき，F は線分 EH
を 2 : 1 に内分することを示せ．
（長崎大学 2010 ）
¡! ¡!
(4) ÎAOB = 90± ，OP ? AB であるとき，OA : OB : AB を求
めよ．
（宇都宮大学 2014 ）
4
¡! ¡
! ¡! ¡
! ¡! ¡
!
四面体 OABC があり，OA = a ，OB = b ，OC = c とす
¡!
¡
!
る．三角形 ABC の重心を G とする．点 D，E，P を OD = 2 b ，
¡!
¡
! ¡!
¡!
OE = 3 c ，OP = 6OG をみたす点とし，平面 ADE と直線
OP の交点を Q とする．次の問いに答えよ．
¡! ¡
! ¡
! ¡
!
(1) OQ を a ; b ; c を用いて表せ．
(2) 三角形 ADE の面積を S1 ，三角形 QDE の面積を S2 とする
S2
とき，
を求めよ．
S1
(3) 四面体 OADE の体積を V1 ，四面体 PQDE の体積を V2 と
V2
を求めよ．
するとき，
V1
（横浜国立大学 2016 ）

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