a 2 an - SUUGAKU.JP

年番号
1
氏名
a を正の実数とし，数列 fan g を次で定義する．
a1 = a;
an+1 = 1 +
2
an
(n = 1; 2; 3; Ý)
このとき，次の問いに答えよ．
(1) a2 ; a3 ; a4 をそれぞれ分子と分母が a の整式となっている分数式で表せ．
(2) 数列 fbn g を bn = (¡1)n a1 a2 Ýan により定めるとき，b1 ; b2 ; b3 ; b4 をそれぞれ a を用いて表せ．
(3) bn+1 と bn を用いて bn+2 を表せ．
(4) 数列 fcn g を cn = bn+1 ¡ bn により定めるとき，n と a を用いて cn を表せ．
(5) a = 1 のとき，bn を n を用いて表せ．また，an を n を用いて表せ．
（立教大学 2016 ）
2
a を正の整数とし，数列 fbn g を
b1 = 1;
b2 = a;
bn+2 = bn+1 + bn
(n = 1; 2; 3; Ý)
により定める．さらに，n = 2 に対して，数列 fcn g を
cn = bn+1 bn¡1 ¡ bn 2
(n = 2; 3; 4; Ý)
と定める．
このとき，次の問いに答えよ．
(1) b3 ; b4 ; b5 をそれぞれ a を用いて表せ．
(2) c2 ; c3 ; c4 をそれぞれ a を用いて表せ．
(3) cn を bn¡1 と bn¡2 を用いて表せ．また，cn¡1 を bn¡1 と bn¡2 を用いて表せ．
(4) cn を cn¡1 を用いて表せ．
(5) 2 以上のすべての整数 n について， cn = 1 が成り立つような a をすべて求めよ．
（立教大学 2016 ）
3
次の条件を満たす数列 fan g を考える．
a1 = 4;
an+1 =
1
f3 + (¡1)n gan ¡ 1 (n = 1; 2; Ý)
2
このとき，次の問に答えよ．
(1) 奇数番目の項のみからなる数列を fbn g，偶数番目の項のみからなる数列を fcn g とする．つまり，bn =
a2n¡1 ，cn = a2n とする．bn+1 ，cn ，bn が次の関係式を満たすとき，定数 A; B; C; D の値をそれぞれ求
めよ．
bn+1 = Acn + B
cn = Cbn + D
(n = 1; 2; Ý)
(2) (1) において cn を消去し，bn+1 を bn を用いて表せ．
(3) 数列 fbn g，fcn g の一般項をそれぞれ n を用いて表せ．
(4) 数列 fan g の第 1 項から第 2k 項までの和 S2k を k を用いて表せ．
（立教大学 2015 ）
4
4 で割って 3 余る自然数を図のように並べ，上から 1 段目，2 段目，3 段目，Ý とする．このとき，次の問
に答えよ．
1 段目
2 段目
3 段目
4 段目
：
7
11
15
19 23 27
31 35 39 43
ÝÝÝÝÝÝ
(1) 6 段目の左から 4 個目にある自然数を求めよ．
(2) n 段目の左端の自然数を an とする．an を n の式で表せ．
(3) 2015 は何段目の左から何個目にあるか答えよ．
(4) n 段目に並んでいる自然数の総和を Sn とする．Sn を n の式で表せ．
（立教大学 2015 ）

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