a (1) - SUUGAKU.JP

1
a; b; c を実数とし，a < 1 とする．座標平面上の 2 曲線
2
C1 : y = x ¡ x;
3
2
n を自然数とし，pn ; qn を実数とする．ただし，p1 ; q1 は p21 ¡ 4q1 = 4 を
満たすとする．2 次方程式 x2 ¡ pn x + qn = 0 は異なる実数解 ®n ; ¯n をも
2
C2 : y = x + bx + cx ¡ a
つとする．ただし，®n < ¯n とする．cn = ¯n ¡ ®n とおくとき，数列 fcn g
は
を考える．C1 と C2 は，点 P(1; 0) と，それとは異なる点 Q を通る．また，
cn+1
n+2
= B
cn
n(n + 1)
点 P における C1 と C2 の接線の傾きは等しいものとする．点 P における C1
の接線を `1 ，点 Q における C1 の接線を `2 ，点 Q における C2 の接線を `3
(n = 1; 2; 3; Ý)
を満たすとする．次の問いに答えよ．
とする．次の問いに答えよ．
(1) b; c および点 Q の座標を a を用いて表せ．
(2) `1 ; `2 ; `3 が三角形をつくらないような a の値を求めよ．
(3) `1 ; `2 ; `3 が直角三角形をつくるような a の値の個数を求めよ．
p
p
n+2
(1) rn = log2 (n n + n) とするとき， B
を rn ; rn+1 を用いて表せ．
n(n + 1)
(2) cn を n の式で表せ．
p
(3) pn = n n であるとき，qn を n の式で表せ．
（広島大学 2015 ）
（広島大学 2015 ）
3
¡
! ¡! ¡
! ¡!
座標平面上に原点 O と 2 点 A(1; 0)，B(0; 1) をとり， a = OA， b = OB
¡!
とする．点 C は jOCj = 1，0± < ÎAOC < 90± ，0± < ÎBOC < 90± を満た
¡! ¡!
すとする．OA ¢ OC = t とするとき，次の問いに答えよ．
¡! ¡
! ¡
!
(1) OC を a ， b ，t を用いて表せ．
¡! ¡
! ¡
!
(2) 線分 AB と線分 OC の交点を D とする．OD を a ， b ，t を用いて表せ．
(3) 点 C から線分 OA に引いた垂線と線分 AB の交点を E とする．D は (2) で
定めた点とする．このとき，4OBD と 4CDE の面積の和を t を用いて表せ．
（広島大学 2015 ）
4
®; ¯ は ® > 0，¯ > 0，® + ¯ < 1 を満たす実数とする．三つの放物線
C1 : y = x(1¡x);
C2 : y = x(1¡¯¡x);
6
座標平面上で，原点 O を中心とする半径 1 の円を C とする．C の外部にあ
る点 P(a; b) から C にひいた 2 本の接線と C との接点を H，H0 とする．
C3 : y = (x¡®)(1¡x)
ÎOPH = µ とするとき，次の問いに答えよ．
を考える．C2 と C3 の交点の x 座標を ° とする．また，C1 ，C2 ，C3 で囲ま
(1) PH の長さ，および sin µ を a; b を用いて表せ．
れた図形の面積を S とする．次の問いに答えよ．
(2) HH0 = OP となるような点 P の軌跡を求めよ．
(1) ° を ®; ¯ を用いて表せ．
（広島大学 2014 ）
(2) S を ®; ¯ を用いて表せ．
1
(3) ®; ¯ が ® + ¯ =
を満たしながら動くとき，S の最大値を求めよ．
4
7
a1 ; a2 ; a3 は定数で，a1 > 0 とする．放物線 C : y = a1 x2 + a2 x + a3
上の点 P(2; 4a1 + 2a2 + a3 ) における接線を ` とし，` と x 軸との交点を
（広島大学 2015 ）
Q(q; 0)，` と y 軸との交点を R(0; a4 ) とする．a1 ，a2 ，a3 ，a4 がこの順
に等差数列であるとき，次の問いに答えよ．
(1) a2 ; a3 ; a4 を a1 を用いて表せ．
5
n を自然数とする．A，B，C，D，E の 5 人が 1 個のボールをパスし続ける．
(2) q の値を求めよ．
最初に A がボールを持っていて，A は自分以外の誰かに同じ確率でボール
(3) 放物線 C，接線 `，および y 軸で囲まれた部分の面積を S とする．S = q
をパスし，ボールを受けた人は，また自分以外の誰かに同じ確率でボールを
となるとき，a1 を求めよ．
パスし，以後同様にパスを続ける．n 回パスしたとき，B がボールを持って
（広島大学 2014 ）
いる確率を pn とする．ここで，たとえば，A ! C ! D ! A ! E の順に
ボールをパスすれば，4 回パスしたと考える．次の問いに答えよ．
8
四面体 OABC において，4OAB の重心を F，4OAC の重心を G とする．
次の問いに答えよ．
(1) p1 ; p2 ; p3 ; p4 を求めよ．
(2) pn を求めよ．
（広島大学 2015 ）
¡! ¡! ¡!
(1) OF を OA，OB を用いて表せ．
¡! ¡!
(2) FG // BC であることを示せ．
(3) OB = OC = 1，ÎBOC = 90± のとき，FG の長さを求めよ．
（広島大学 2014 ）
9
® > 1 とする．数列 fan g を
F
a1 = ®;
an+1 =
2an
an + 1
(n = 1; 2; 3; Ý)
によって定める．次の不等式が成り立つことを証明せよ．
(1) an > 1
(2)
p
(n = 1; 2; 3; Ý)
x¡15
(3) an ¡ 1 5 #
1
(x ¡ 1)
2
(ただし，x > 1 とする．
)
1 n¡1
;
(® ¡ 1)
4
(n = 1; 2; 3; Ý)
（広島大学 2014 ）
10 正六角形の頂点を反時計回りに P1 ，P2 ，P3 ，P4 ，P5 ，P6 とする．1 個のさ
いころを 2 回投げて，出た目を順に j; k とする．次の問いに答えよ．
(1) P1 ，Pj ，Pk が異なる 3 点となる確率を求めよ．
(2) P1 ，Pj ，Pk が正三角形の 3 頂点となる確率を求めよ．
(3) P1 ，Pj ，Pk が直角三角形の 3 頂点となる確率を求めよ．
（広島大学 2014 ）

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