1 a; b; c を実数とし,a < 1 とする.座標平面上の 2 曲線 2 C1 : y = x ¡ x; 3 2 n を自然数とし,pn ; qn を実数とする.ただし,p1 ; q1 は p21 ¡ 4q1 = 4 を 満たすとする.2 次方程式 x2 ¡ pn x + qn = 0 は異なる実数解 ®n ; ¯n をも 2 C2 : y = x + bx + cx ¡ a つとする.ただし,®n < ¯n とする.cn = ¯n ¡ ®n とおくとき,数列 fcn g は を考える.C1 と C2 は,点 P(1; 0) と,それとは異なる点 Q を通る.また, cn+1 n+2 = B cn n(n + 1) 点 P における C1 と C2 の接線の傾きは等しいものとする.点 P における C1 の接線を `1 ,点 Q における C1 の接線を `2 ,点 Q における C2 の接線を `3 (n = 1; 2; 3; Ý) を満たすとする.次の問いに答えよ. とする.次の問いに答えよ. (1) b; c および点 Q の座標を a を用いて表せ. (2) `1 ; `2 ; `3 が三角形をつくらないような a の値を求めよ. (3) `1 ; `2 ; `3 が直角三角形をつくるような a の値の個数を求めよ. p p n+2 (1) rn = log2 (n n + n) とするとき, B を rn ; rn+1 を用いて表せ. n(n + 1) (2) cn を n の式で表せ. p (3) pn = n n であるとき,qn を n の式で表せ. ( 広島大学 2015 ) ( 広島大学 2015 ) 3 ¡ ! ¡! ¡ ! ¡! 座標平面上に原点 O と 2 点 A(1; 0),B(0; 1) をとり, a = OA, b = OB ¡! とする.点 C は jOCj = 1,0± < ÎAOC < 90± ,0± < ÎBOC < 90± を満た ¡! ¡! すとする.OA ¢ OC = t とするとき,次の問いに答えよ. ¡! ¡ ! ¡ ! (1) OC を a , b ,t を用いて表せ. ¡! ¡ ! ¡ ! (2) 線分 AB と線分 OC の交点を D とする.OD を a , b ,t を用いて表せ. (3) 点 C から線分 OA に引いた垂線と線分 AB の交点を E とする.D は (2) で 定めた点とする.このとき,4OBD と 4CDE の面積の和を t を用いて表せ. ( 広島大学 2015 ) 4 ®; ¯ は ® > 0,¯ > 0,® + ¯ < 1 を満たす実数とする.三つの放物線 C1 : y = x(1¡x); C2 : y = x(1¡¯¡x); 6 座標平面上で,原点 O を中心とする半径 1 の円を C とする.C の外部にあ る点 P(a; b) から C にひいた 2 本の接線と C との接点を H,H0 とする. C3 : y = (x¡®)(1¡x) ÎOPH = µ とするとき,次の問いに答えよ. を考える.C2 と C3 の交点の x 座標を ° とする.また,C1 ,C2 ,C3 で囲ま (1) PH の長さ,および sin µ を a; b を用いて表せ. れた図形の面積を S とする.次の問いに答えよ. (2) HH0 = OP となるような点 P の軌跡を求めよ. (1) ° を ®; ¯ を用いて表せ. ( 広島大学 2014 ) (2) S を ®; ¯ を用いて表せ. 1 (3) ®; ¯ が ® + ¯ = を満たしながら動くとき,S の最大値を求めよ. 4 7 a1 ; a2 ; a3 は定数で,a1 > 0 とする.放物線 C : y = a1 x2 + a2 x + a3 上の点 P(2; 4a1 + 2a2 + a3 ) における接線を ` とし ,` と x 軸との交点を ( 広島大学 2015 ) Q(q; 0),` と y 軸との交点を R(0; a4 ) とする.a1 ,a2 ,a3 ,a4 がこの順 に等差数列であるとき,次の問いに答えよ. (1) a2 ; a3 ; a4 を a1 を用いて表せ. 5 n を自然数とする.A,B,C,D,E の 5 人が 1 個のボールをパスし続ける. (2) q の値を求めよ. 最初に A がボールを持っていて,A は自分以外の誰かに同じ確率でボール (3) 放物線 C,接線 `,および y 軸で囲まれた部分の面積を S とする.S = q をパスし,ボールを受けた人は,また自分以外の誰かに同じ確率でボールを となるとき,a1 を求めよ. パスし,以後同様にパスを続ける.n 回パスしたとき,B がボールを持って ( 広島大学 2014 ) いる確率を pn とする.ここで,たとえば,A ! C ! D ! A ! E の順に ボールをパスすれば,4 回パスしたと考える.次の問いに答えよ. 8 四面体 OABC において,4OAB の重心を F,4OAC の重心を G とする. 次の問いに答えよ. (1) p1 ; p2 ; p3 ; p4 を求めよ. (2) pn を求めよ. ( 広島大学 2015 ) ¡! ¡! ¡! (1) OF を OA,OB を用いて表せ. ¡! ¡! (2) FG // BC であることを示せ. (3) OB = OC = 1,ÎBOC = 90± のとき,FG の長さを求めよ. ( 広島大学 2014 ) 9 ® > 1 とする.数列 fan g を F a1 = ®; an+1 = 2an an + 1 (n = 1; 2; 3; Ý) によって定める.次の不等式が成り立つことを証明せよ. (1) an > 1 (2) p (n = 1; 2; 3; Ý) x¡15 (3) an ¡ 1 5 # 1 (x ¡ 1) 2 (ただし,x > 1 とする. ) 1 n¡1 ; (® ¡ 1) 4 (n = 1; 2; 3; Ý) ( 広島大学 2014 ) 10 正六角形の頂点を反時計回りに P1 ,P2 ,P3 ,P4 ,P5 ,P6 とする.1 個のさ いころを 2 回投げて,出た目を順に j; k とする.次の問いに答えよ. (1) P1 ,Pj ,Pk が異なる 3 点となる確率を求めよ. (2) P1 ,Pj ,Pk が正三角形の 3 頂点となる確率を求めよ. (3) P1 ,Pj ,Pk が直角三角形の 3 頂点となる確率を求めよ. ( 広島大学 2014 )
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