1 k2 - SUUGAKU.JP

年番号
1
4
n は自然数とする．次の問に答えよ．
(1) 次の不等式を示せ．
n
P
k=1
x を未知数とする 3 次方程式
x3 + (2t ¡ 2)x2 + (t3 ¡ 3t + 2)x + 1 = 0
1
<2
k2
の 3 つの解を ®; ¯; ° とする．t > 0 ならば，®2 + ¯2 + °2 5 0 であることを示しなさい．
（信州大学 2011 ）
(2) x > 0 のとき，次の不等式を示せ．
x¡
x3
< sin x < x
6
(3) 次の極限を求めよ．
lim
n!1
5
n
1 P
1
<
$
k sin
n k=1
k
p
¡
! ¡
!
¡! ¡
! ¡! ¡
!
¡
!
¡
!
4ABC において，AB = b ，AC = c とおき，j b j = 1，j c j = 3， b ¢ c = 1 であるとす
る．辺 BC を 1 : 2 に内分する点を D，線分 AD に関して B と対称な点を E，直線 AE と辺 BC
の交点を F とする．このとき，次の問いに答えよ．
（大阪教育大学 2012 ）
2
氏名
¡! ¡
! ¡! ¡
! ¡! ¡
!
¡
!
4ABC の外心を O とし，OA = a ; OB = b ; OC = c とおく．j a j = 1 とする．点 O に関
¡
! ¡
! ¡
!
する点 P の位置ベクトルが a + b + c であるとする．
¡! ¡
!
(1) AE を b ;
¡! ¡
!
(2) AF を b ;
¡
!
c を用いて表せ．
¡
!
c を用いて表せ．
(3) DF : BC を求めよ．
（静岡大学 2015 ）
(1) 直線 AP と直線 BC は垂直に交わることを示せ．
¡
!
¡
!
¡
!
¡
! ¡
!
3
(2) a ¢ b = ¡ とする．OP //AB のとき， c = s a + t b となる実数 s; t を求めよ．
4
（信州大学 2011 ）
6
a > 0 とし，I =
Z
1
0
p
a x ¡ x dx とする．
p
(1) a x ¡ x = 0 を満たす x を求めよ．
(2) I を a を用いて表せ．
3
曲線 y = ex 上の点 A における接線と法線が x 軸と交わる点を，それぞれ B，C とする．4ABC
の面積が 5 のとき，4ABC の外心の座標を求めよ．
(3) a が a > 0 の範囲を動くとき，I の最小値を求めよ．
（徳島大学 2015 ）
（信州大学 2011 ）
7 （新課程履修者）a > 0 とする．複素平面上で等式
z ¡ ia =
10 数列 fan g の初項 a1 から第 n 項 an までの和 Sn が次を満たす．
z¡z
2i
Sn =
(1) n = 3 のとき，an を an¡1 と an¡2 の式で表せ．
表す．
(2) n = 3 のとき，an ¡ 2an¡1 を a1 と a2 の式で表せ．
(3) a1 = 1 とする．一般項 an を求めよ．
(2) C 上の点 z で
（徳島大学 2015 ）
z ¡ (2 + 2i) = z + (2 + 2i)
を満たすものを求めよ．
（学習院大学 2015 ）
実数 a に対し，xy 平面上の放物線 C : y = (x ¡ a)2 ¡ 2a2 + 1 を考える．次の問いに答えよ．
(1) a がすべての実数を動くとき，C が通過する領域を求め，図示せよ．
(2) a が ¡1 5 a 5 1 の範囲を動くとき，C が通過する領域を求め，図示せよ．
（横浜国立大学 2015 ）
9
(n = 2; 3; 4; Ý)
を満たす点 z 全体の表す図形を C とする．ただし，i は虚数単位で，z は z と共役な複素数を
(1) z = x + iy と表すとき，C の方程式を y = f(x) の形で表せ．
8
1
(2an + 8an¡1 )
3
s; t を s < t をみたす実数とする．座標平面上の 3 点 A(1; 2)，B(s; s2 )，C(t; t2 ) が一直線
上にあるとする．以下の問に答えよ．
(1) s と t の間の関係式を求めよ．
(2) 線分 BC の中点を M(u; v) とする．u と v の間の関係式を求めよ．
(3) s; t が変化するとき，v の最小値と，そのときの u; s; t の値を求めよ．
（神戸大学 2015 ）

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