(n + 1)! - SUUGAKU.JP

1
n は任意の自然数，また，k = 1; 2; Ý; n について ak は 0 5 ak 5 k を満たす整数である．このとき，以下の問に答えよ．
(1) 数学的帰納法により，次の等式を示せ．
1 ¢ 1! + 2 ¢ 2! + Ý + n ¢ n! = (n + 1)! ¡ 1
(2) 2015 = a1 ¢ 1! + a2 ¢ 2! + Ý + an ¢ n! が成り立っているとき，n を求めよ．ただし，an Ë 0 とする．
(3) (2) の等式を成立させる a1 ; a2 ; Ý; an を求め，答のみ記入せよ．
（早稲田大学 2015 ）
2
数列 fan g を
a1 = 5;
an+1 =
4an ¡ 9
an ¡ 2
(n = 1; 2; 3; Ý)
で定める．また数列 fbn g を
bn =
a1 + 2a2 + Ý + nan
1+2+Ý+n
(n = 1; 2; 3; Ý)
と定める．
(1) 数列 fan g の一般項を求めよ．
(2) すべての n に対して，不等式 bn 5 3 +
4
が成り立つことを示せ．
n+1
(3) 極限値 lim bn を求めよ．
n!1
（東京工業大学 2015 ）
3
次の条件によって定められる数列 fan g がある．
a1 = ¡1;
an+1 =
5an + 9
¡an + 11
(n = 1; 2; 3; Ý)
次の問いに答えよ．
(1) a2 ; a3 ; a4 を求めよ．
(2) 一般項 an を推測し，その結果を数学的帰納法によって証明せよ．
(3) an < 3 を示せ．
(4) an < an+1 を示せ．
(5) an が自然数となる n をすべて求めよ．
（県立広島大学 2015 ）
4
数列 fan g が
an ¡ 3an+1
= an an+1 (n = 1; 2; 3; Ý) で定義されている．ただし，初項 a1 = 1 とする．次の問いに答えよ．
4(n + 1)
(1) an Ë 0 を示せ．
1
+ 2n (n = 1; 2; 3; Ý) とおくとき，数列 fbn g のみたす漸化式を求めよ．
(2) bn =
an
(3) 数列 fan g の一般項を求めよ．
（名古屋市立大学 2015 ）

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