1 (2) n ≧ 5 - SUUGAKU.JP

1
次の条件（イ），
（ロ）によって定められる数列 fan g がある．
p
（イ） a1 = 2 + 1
（ロ） n = 1; 2; 3; Ý に対し
an+1
p
(an < 10 のとき)
¡ 2an ¡ 1
=W p
( 2 ¡ 1)an + 6 (an > 10 のとき)
次の問いに答えよ．
(1) a2 ; a3 ; a4 ; a5 を求めよ．
(2) n = 5 のとき，an > 10 であることを示せ．
(3) n = 5 のとき，an を n の式で表せ．
（高知大学 2015 ）
2
n を自然数とする．A，B，C，D，E の 5 人が 1 個のボールをパスし続ける．最初に A がボールを持って
いて，A は自分以外の誰かに同じ確率でボールをパスし，ボールを受けた人は，また自分以外の誰かに同
じ確率でボールをパスし，以後同様にパスを続ける．n 回パスしたとき，B がボールを持っている確率を
pn とする．ここで，たとえば，A ! C ! D ! A ! E の順にボールをパスすれば，4 回パスしたと考え
る．次の問いに答えよ．
(1) p1 ; p2 ; p3 ; p4 を求めよ．
(2) pn を求めよ．
（広島大学 2015 ）
3
p; q; r を実数とする．空間内の 3 点 A(1; p; 0)，B(q; 1; 1)，C(¡1; ¡1; r) が一直線上にあるとき，
以下の問いに答えよ．ただし，O を原点とする．
(1) p は 1 でも ¡1 でもないことを示せ．
(2) q; r を p を用いて表せ．
(3) p0 ; q0 ; r0 を実数とし，空間内の 3 点を A0 (1; p0 ; 0)，B0 (q0 ; 1; 1)，C0 (¡1; ¡1; r0 ) とする．ベク
¡¡! ¡¡! ¡¡!
¡!
トル OA0 ，OB0 ，OC0 がいずれもベクトル AB に垂直であるとき，p0 ; q0 ; r0 を p を用いて表せ．
(4) (3) における 3 点 A0 ，B0 ，C0 は一直線上にないことを示せ．
（熊本大学 2015 ）
4
e を自然対数の底とし，0 5 x 5 e とする．関数 f(x) =
Z
2
0
et ¡ x2 dt について，次の問いに答えよ．
(1) 定積分を計算し，f(x) を x を用いて表せ．
(2) f(x) の最大値と最小値を求めよ．また，それらの値をとるときの x の値もそれぞれ求めよ．
（静岡大学 2015 ）

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