(1) 球の z ≧ 0

1
座標空間内に，原点 O(0; 0; 0) を中心とする半径 1 の球がある．下の概略図のように，y 軸の
p
¼
負の方向から仰角
で太陽光線が当たっている．この太陽光線はベクトル (0; 3; ¡1) に平
6
行である．球は光を通さないものとするとき，以下の問いに答えよ．
2
a; b; p は a > 0，b > 0，p < 0 を満たす実数とする．座標平面上の 2 曲線
C1 : y = ex ;
y2
x2
+
=1
a2
b2
C2 :
を考える．ただし，e は自然対数の底である．C1 と C2 が点 (p; ep ) を共有し，その点における
C1 の接線と C2 の接線が一致するとき，次の問いに答えよ．
(1) p を a を用いて表せ．
(2) lim (p + a) を求めよ．
a!1
(3) lim
a!1
b2 e2a
を求めよ．
a
（広島大学 2015 ）
(1) 球の z = 0 の部分が xy 平面上につくる影を考える．k を ¡1 < k < 1 を満たす実数とすると
3
s; t を s < t をみたす実数とする．座標平面上の 3 点 A(1; 2)，B(s; s2 )，C(t; t2 ) が一直線
上にあるとする．以下の問に答えよ．
き，xy 平面上の直線 x = k において，球の外で光が当たらない部分の y 座標の範囲を k を用
(1) s と t の間の関係式を求めよ．
いて表せ．
(2) xy 平面上において，球の外で光が当たらない部分の面積を求めよ．
(2) 線分 BC の中点を M(u; v) とする．u と v の間の関係式を求めよ．
(3) z = 0 において，球の外で光が当たらない部分の体積を求めよ．
(3) s; t が変化するとき，v の最小値と，そのときの u; s; t の値を求めよ．
（神戸大学 2015 ）
（九州大学 2015 ）
4
n は自然数，a は a >
f(x) =
Z
x
0
3
をみたす実数とし，実数 x の関数
2
(x ¡ µ)(a sinn+1 µ ¡ sinn¡1 µ) dµ
を考える．ただし，n = 1 のときは sinn¡1 µ = 1 とする．
Z ¼
Z ¼
2
2
n
(1)
sinn+1 µ dµ =
sinn¡1 µ dµ を示せ．
n+1 0
0
¼
; = 0 をみたす n と a の値を求めよ．
2
¼
(3) (2) で求めた n と a に対して，f # ; を求めよ．
2
(2) f0 #
（北海道大学 2015 ）
5
8
p; q は正の実数とし，
a1 = 0;
an+1 = pan + (¡q)n+1
®; ¯ は ® > 0，¯ > 0，® + ¯ < 1 を満たす実数とする．三つの放物線
C1 : y = x(1 ¡ x);
(n = 1; 2; 3; Ý)
C2 : y = x(1 ¡ ¯ ¡ x);
C3 : y = (x ¡ ®)(1 ¡ x)
を考える．C2 と C3 の交点の x 座標を ° とする．また，C1 ，C2 ，C3 で囲まれた図形の面積を S
によって定まる数列 fan g がある．
an
とする．数列 fbn g の一般項を p; q; n で表せ．
pn
(2) q = 1 とする．すべての自然数 n について an+1 = an となるような p の値の範囲を求めよ．
(1) bn =
（北海道大学 2015 ）
とする．次の問いに答えよ．
(1) ° を ®; ¯ を用いて表せ．
(2) S を ®; ¯ を用いて表せ．
1
(3) ®; ¯ が ® + ¯ =
を満たしながら動くとき，S の最大値を求めよ．
4
（広島大学 2015 ）
6
直線 ` : y = kx + m (k > 0) が円 C1 : x2 + (y ¡ 1)2 = 1 と放物線 C2 : y = ¡
1 2
x の両方
2
に接している．このとき，以下の問いに答えよ．
(1) k と m を求めよ．
(2) 直線 ` と放物線 C2 および y 軸とで囲まれた図形の面積を求めよ．
（大阪大学 2015 ）
7
初めに赤玉 2 個と白玉 2 個が入った袋がある．その袋に対して以下の試行を繰り返す．
‘ まず同時に 2 個の玉を取り出す．
’ その 2 個の玉が同色であればそのまま袋に戻し，色違いであれば赤玉 2 個を袋に入れる．
“ 最後に白玉 1 個を袋に追加してかき混ぜ，1 回の試行を終える．
n 回目の試行が終わった時点での袋の中の赤玉の個数を Xn とする．
(1) X1 = 3 となる確率を求めよ．
(2) X2 = 3 となる確率を求めよ．
(3) X2 = 3 であったとき，X1 = 3 である条件付き確率を求めよ．
（北海道大学 2015 ）

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