2012年

線形代数学 II 期末試験問題 (２０１３年２月)
氏名
学籍番号
1.
次の問いに答えよ。（各４点）
(1) 写像 f : V → W が線形写像であることの定義を２つの式でかけ。
(a)
(b)
(2)
ベクトル a1 , a2 , . . . , an が一次独立であることの定義を一次結合の式を用いて述
べよ。
(3)
ベクトル空間 V の部分集合 W が部分ベクトル空間になるための必要十分条件
を２つの式でかけ。
(a)
(b)
(4)
行列 A の固有値 α と固有ベクトル v の定義を述べよ。
2.
(5)
n 次正方行列 A に対し、ケーリー・ハミルトンの定理を簡潔に述べよ。
(6)
n 次正方行列 A に対し、フロベニウスの定理を簡潔に述べよ。
次の問いに答えよ。（各５点）
(1) (a + b) × (a + 3b) = t (1, 1, 1) とするとき、a × b を求めよ。
(2)
ベクトル空間 R[x]2 = {a + bx + cx2 |a, b, c ∈ R} の部分集合
W = {a + bx + (a + b)x2 |a, b ∈ R} は R[x]2 の部分空間であることを示せ。

3.

−1 1
0
1 −1  で定められた１次変換を fA とする。
行列 A =  2
0 −1 3
z
y+1
= で表される直線を l として次の問いに答えよ。（各５点）
また、x − 1 =
3
2
(1)
直線 l を数ベクトルと変数 t を用いた式で表せ。
(2)
直線 l が１次変換 fA によって写る直線の方程式を求めよ。
(
4.
行列 A =
1 1
2 0
)
について次の問いに答えよ。
(1)
行列 A2 を A と単位行列 E を用いて表せ。（４点）
(2)
自然数 n について、An を求めよ。（７点）
(
5.
6.
行列 A =
2 2
2 −1
)
について次の問いに答えよ。（各６点）
(1)
行列 A の固有値および各固有値に対する固有ベクトルを求めよ。
(2)
行列 A を対角化せよ。（対角化する過程も記述すること）
(3)
A5 + 2E の固有値および各固有値に対する固有ベクトルを求めよ。
次の行列の固有値と対応する固有空間を求めよ。（各６点）
(
(1)
B=

(2)
0 1
−1 2
)

2 0 0
A =  0 5 −3 
0 6 −4
7.
２次元実ベクトル空間 R2 において、直線 y = 3x へ正射影する変換を f : R2 → R2
として、次の問いに答えよ。（各３点）
[注] 点 A から直線へ下ろした垂線の足 B を点 A の正射影と呼ぶ。
(1) 直線 y = 3x 上のベクトル a1 = t (1 3) とこれに垂直なベクトル a2 = t (−3 1) に
対し、 f (a1 ), f (a2 ) を求めよ。
(2)
x = x1 a1 + x2 a2 とするとき、f (x) を x1 , x2 , a1 , a2 を用いて表せ。
(3)
x = x1 a1 + x2 a2 , y = y1 a1 + y2 a2 として、f (x + y) = f (x) + f (y) および実数
k に対し f (kx) = kf (x) が成立することを示せ。
(4)
標準基底を e1 e2 とするとき、(a1 a2 ) = (e1 e2 )P となる基底変換の行列 P を求
めよ。
(5)
f (xe1 + ye2 ) = Xe1 + Y e2 とするとき、X, Y を x, y の式で表せ。

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