c = 1 - SUUGAKU.JP

1
p
¡! ¡
! ¡! ¡
!
¡
!
¡
!
¡
! ¡
!
4ABC において，AB = b ，AC = c とおき，j b j = 1，j c j = 3， b ¢ c = 1 であ
るとする．辺 BC を 1 : 2 に内分する点を D，線分 AD に関して B と対称な点を E，直線
AE と辺 BC の交点を F とする．このとき，次の問いに答えよ．
¡! ¡
!
(1) AE を b ;
¡! ¡
!
(2) AF を b ;
¡
!
c を用いて表せ．
¡
!
c を用いて表せ．
(3) DF : BC を求めよ．
（静岡大学 2015 ）
2
p
p
p
座標平面上の 3 点 A( 3; ¡2)，B(3 3; 0)，C(4 3; ¡5) を頂点とする三角形 ABC の外
心を D とする．このとき，
¡!
AD =
サ
シ
¡!
AB +
ス
セ
¡!
AC
である．また，直線 AD と辺 BC の交点を E とすると，
BE
=
EC
ソ
タ
である．
（早稲田大学 2015 ）
3
平面上に長さ 2 の線分 AB を直径とする円 C がある．2 点 A，B を除く C 上の点 P に対
し，AP = AQ となるように線分 AB 上の点 Q をとる．また，直線 PQ と円 C の交点のう
ち，P でない方を R とする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1) 4AQR の面積を µ = ÎPAB を用いて表せ．
¡! ¡! ¡!
(2) 点 P を動かして 4AQR の面積が最大になるとき，AR を AB と AP を用いて表せ．
（大阪大学 2015 ）
4
¡
! ¡! ¡
! ¡!
座標平面上に原点 O と 2 点 A(1; 0)，B(0; 1) をとり， a = OA， b = OB とする．点
¡!
¡! ¡!
C は jOCj = 1，0± < ÎAOC < 90± ，0± < ÎBOC < 90± を満たすとする．OA ¢ OC = t
とするとき，次の問いに答えよ．
¡! ¡
! ¡
!
(1) OC を a ， b ，t を用いて表せ．
¡! ¡
! ¡
!
(2) 線分 AB と線分 OC の交点を D とする．OD を a ， b ，t を用いて表せ．
(3) 点 C から線分 OA に引いた垂線と線分 AB の交点を E とする．D は (2) で定めた点とす
る．このとき，4OBD と 4CDE の面積の和を t を用いて表せ．
（広島大学 2015 ）
5
点 O を中心とする半径 1 の円に内接する三角形 ABC があり，
¡!
¡!
¡! ¡
!
2OA + 3OB + 4OC = 0
をみたしている．この円上に点 P があり，線分 AB と線分 CP は直交している．次の問い
に答えよ．
¡! ¡!
¡!
(1) 内積 OA ¢ OB と jABj をそれぞれ求めよ．
(2) 線分 AB と線分 CP の交点を H とするとき，AH : HB を求めよ．
(3) 四角形 APBC の面積を求めよ．
（横浜国立大学 2015 ）
6
O を原点とする座標空間の 2 点 P(cos t; sin t; 0)，Q(cos 2t; sin 2t; cos t) について，
次の問いに答えよ．ただし，0 5 t 5 2¼ とする．
¡! ¡!
(1) 2 つのベクトル OP，OQ は平行でないことを示せ．
(2) 三角形 OPQ の面積 S(t) は t の値に関係なく一定であることを示せ．
¡! ¡!
(3) OP，OQ のなす角 µ(t) のとる値の範囲を求めよ．
（信州大学 2014 ）
7
四面体 OAPQ において，ÎAOP = ÎAOQ = ÎPOQ = 60± ，OA = 1，OP = p，
OQ = q とし，頂点 A から平面 OPQ に下ろした垂線を AH とする．ただし，p 5 q とす
る．このとき，次の問いに答えよ．
¡! ¡!
(1) 内積 AP ¢ AQ を p; q を用いて表せ．
(2) AH の長さを求めよ．
(3) p + q = 3，および 4APQ の面積が 1 のとき，以下の値を求めよ．
(1) pq
(2) p
(3) 四面体 OAPQ の体積
（旭川医科大学 2015 ）
8
点 O を原点とする座標空間において，4 点 O，A(2; 0; 0)，B(1; 2; 0)，C(1; 1; 2) を
頂点とする四面体がある．点 O から平面 ABC に垂線 OH を下ろし，直線 AH と直線 BC
¡
! ¡! ¡
! ¡! ¡
! ¡!
の交点を P とする． a = OA， b = OB， c = OC とするとき，次の問いに答えよ．
¡!
¡
!
¡
!
¡
!
(1) 実数 s; t; u を用いて，OH = s a + t b + u c とおくとき，s; t; u を求めよ．
(2) 線分 BP と線分 PC の長さの比 BP : PC を求めよ．
(3) 線分 AP の長さを求めよ．
（鳥取大学 2015 ）
9
座標空間内に 3 点 A(1; 1; 2)，B(3; 5; 7)，C(4; 4; 5) がある．また，s; t は実数であ
るとして，点 P(s; t; 4) を考える．このとき，以下の問いに答えよ．
(1) 点 P が 3 点 A，B，C を通る平面上にあるための s; t の関係式を求めよ．
(2) 点 P が直線 AB 上にあるときの s; t の値を求めよ．
(3) 点 P が 3 点 A，B，C を通る平面上を動くとき，その軌跡により三角形 ABC は二つの部
分に分けられる．この二つの部分の面積の比の値 r を求めよ．ただし，r = 1 とする．
（大阪府立大学 2014 ）
10 O を原点とする座標空間に，2 点 A(0; 1; 2)，B(1; 2; 0) がある．
C
(1) 4OAB の面積は
1
2
3
である．
(2) 点 C の位置を，位置ベクトル
¡!
2 ¡!
2 ¡!
OC =
OA + OB
3
3
によって定める．このとき，4ABC と 4OAB の面積の比は
4
4ABC
=
4OAB
5
である．
¡! ¡!
(3) 2 つのベクトル OA，OB の両方に垂直な単位ベクトルのうちの 1 つは，
C
6
7
!
21
; ¡
8
9
; 19
である．
(4) t を実数として，点 D $
V(t) =
t2
; 4t; 19< を定める．このとき，四面体 ABCD の体積 V(t) は
4
10
11
12
!t2 ¡
13
t+
14
15
9
である．
(5) 数列 fan g を次のように定める．
a1 = 1;
an+1 = an +
このとき，V(an ) は，n =
n+1
10
16
(n = 1; 2; 3; Ý)
で最小となる．
（慶應義塾大学 2015 ）

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