年 番号 1 氏名 a を正の実数とし,数列 fan g を次で定義する. a1 = a; an+1 = 1 + 2 an (n = 1; 2; 3; Ý) このとき,次の問いに答えよ. (1) a2 ; a3 ; a4 をそれぞれ分子と分母が a の整式となっている分数式で表せ. (2) 数列 fbn g を bn = (¡1)n a1 a2 Ýan により定めるとき,b1 ; b2 ; b3 ; b4 をそれぞれ a を用いて表せ. (3) bn+1 と bn を用いて bn+2 を表せ. (4) 数列 fcn g を cn = bn+1 ¡ bn により定めるとき,n と a を用いて cn を表せ. (5) a = 1 のとき,bn を n を用いて表せ.また,an を n を用いて表せ. ( 立教大学 2016 ) 2 a を正の整数とし,数列 fbn g を b1 = 1; b2 = a; bn+2 = bn+1 + bn (n = 1; 2; 3; Ý) により定める.さらに,n = 2 に対して,数列 fcn g を cn = bn+1 bn¡1 ¡ bn 2 (n = 2; 3; 4; Ý) と定める. このとき,次の問いに答えよ. (1) b3 ; b4 ; b5 をそれぞれ a を用いて表せ. (2) c2 ; c3 ; c4 をそれぞれ a を用いて表せ. (3) cn を bn¡1 と bn¡2 を用いて表せ.また,cn¡1 を bn¡1 と bn¡2 を用いて表せ. (4) cn を cn¡1 を用いて表せ. (5) 2 以上のすべての整数 n について, cn = 1 が成り立つような a をすべて求めよ. ( 立教大学 2016 ) 3 次の条件を満たす数列 fan g を考える. a1 = 4; an+1 = 1 f3 + (¡1)n gan ¡ 1 (n = 1; 2; Ý) 2 このとき,次の問に答えよ. (1) 奇数番目の項のみからなる数列を fbn g,偶数番目の項のみからなる数列を fcn g とする.つまり,bn = a2n¡1 ,cn = a2n とする.bn+1 ,cn ,bn が次の関係式を満たすとき,定数 A; B; C; D の値をそれぞれ求 めよ. bn+1 = Acn + B cn = Cbn + D (n = 1; 2; Ý) (2) (1) において cn を消去し,bn+1 を bn を用いて表せ. (3) 数列 fbn g,fcn g の一般項をそれぞれ n を用いて表せ. (4) 数列 fan g の第 1 項から第 2k 項までの和 S2k を k を用いて表せ. ( 立教大学 2015 ) 4 4 で割って 3 余る自然数を図のように並べ,上から 1 段目,2 段目,3 段目,Ý とする.このとき,次の問 に答えよ. 1 段目 2 段目 3 段目 4 段目 : 7 11 15 19 23 27 31 35 39 43 ÝÝÝÝÝÝ (1) 6 段目の左から 4 個目にある自然数を求めよ. (2) n 段目の左端の自然数を an とする.an を n の式で表せ. (3) 2015 は何段目の左から何個目にあるか答えよ. (4) n 段目に並んでいる自然数の総和を Sn とする.Sn を n の式で表せ. ( 立教大学 2015 ) 5 数列 fan g は次のように定められている.初項 a1 = 0 であり,すべての自然数 n に対して an+1 = ¡an + 1 + (¡1)n+1 2 が成り立つ.このとき,次の問に答えよ. (1) a3 ; a4 を求めよ. (2) c を定数として bn = (¡1)n (an + c) とおく.fbn g が等差数列になるためには c をどのように定めればよ いか.c の値を求めよ. (3) 数列 fan g の一般項を n を用いて表せ. (4) 数列 fan g の第 2n 項までの 2 乗の和 S2n = a1 2 + a2 2 + Ý + a2n 2 を求めよ. ( 立教大学 2011 ) 6 数列 fak g は,すべての自然数 n に対して, n P k=1 ak = 3n 3 ¡ 8 n+2 を満たす.このとき,次の問いに答えよ. (1) 初項 a1 を求めよ. (2) k = 2 のとき,ak を k の式で表せ. (3) 数列 fbk g を,すべての自然数 k に対して,bk = n P (k + 1)(k + 2) ak により定めるとき, bk を n の k¡1 3 k=1 式で表せ. ( 立教大学 2012 )
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