1 k2 - SUUGAKU.JP

1
n は自然数とする．次の問に答えよ．
(1) 次の不等式を示せ．
n
P
k=1
1
<2
k2
(2) x > 0 のとき，次の不等式を示せ．
x¡
x3
< sin x < x
6
(3) 次の極限を求めよ．
lim
n!1
n
1 P
1
$
<
k sin
n k=1
k
2
¡!
¡!
¡!
平面上の三角形 ABC で，jABj = 7，jBCj = 5，jACj = 6 となるものを考える．また，三
角形 ABC の内部の点 P は，
¡!
¡
!
¡
! ¡
!
PA + sPB + 3PC = 0 (s > 0)
を満たすとする．次の問いに答えよ．
¡!
¡!
¡!
(1) AP = ®AB + ¯AC とするとき，® と ¯ を s を用いて表せ．
¡!
¡!
jBDj
jAPj
(2) 2 直線 AP，BC の交点を D とするとき， ¡! と ¡! を s を用いて表せ．
jDCj
jPDj
(3) 三角形 ABC の面積を求めよ．
p
(4) 三角形 APC の面積が 2 6 となるような s の値を求めよ．
3
05µ5
¼
を満たす実数 µ に対して，関係式
2
y2
x2
+
=1
(cos µ + 2)2
(sin µ + 3)2
を満たす第 1 象限内の点で，積 xy の値を最大にする点を P(µ) とする．
(1) P(0) の座標を求めよ．
¼
; の軌跡の方程式を求めよ．
(2) P(µ) #0 5 µ 5
2
4
1 から n までの番号が 1 つずつ書かれている n 個の球が，袋の中に入っている．この袋の中
から 3 個の球を同時に取り出す．このとき，以下の問いに答えよ．ただし，n = 3 とする．
(1) n = 5 のとき，球に書かれている 3 つの数のうち，2 つだけが連続している確率を求めよ．
(2) 球に書かれている 3 つの数のうち，2 つだけが連続している確率 p(n) を求めよ．
(3) 球に書かれている 3 つの数のうち，どの 2 つも連続していない確率 q(n) を求めよ．
(4) p(n) の最大値と，そのときの n の値を求めよ．
5
f(x) = cos x + sin x ¡ 1 とする．g(x) は
g(x) = f(x) ¡
Z 2¼
1
T
tg(t) dt ¡ 3¼l
0
4¼2
を満たす連続関数とする．次の問いに答えよ．
(1) 区間 0 5 x 5 2¼ において f(x) > 0 を満たす x の範囲を求めよ．
Z
(2) 不定積分
xf(x) dx を求めよ．
Z 2¼
(3) 定積分
t f(t) dt の値を求めよ．
0
(4) g(x) を求めよ．

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