とする．t を 0

1
4OAB において，OA = 5，OB = 6，AB = 7
一辺の長さが 1 の正四面体 OABC を考える．辺
とする．t を 0 < t < 1 を満たす実数とする．辺
AB を 2 : 1 に内分する点を P とし，線分 CP
OA を t : (1 ¡ t) に内分する点を P，辺 OB を
を 3 : 1 に内分する点を Q とする．また，直線
¡!
¡!
OC 上の点 R を QR ? OC となるようにとる．
¡!
¡
! ¡!
¡
! ¡!
¡
!
OA = a ，OB = b ，OC = c とおく．この
1 : t に外分する点を Q，辺 AB と線分 PQ の交
点を R とする．点 R から直線 OB へ下ろした垂
¡! ¡
! ¡! ¡
!
線を RS とする．OA = a ，OB = b とすると
き，次の問いに答えよ．
¡
! ¡
!
(1) 内積 a ¢ b を求めよ．
¡!
¡
! ¡
!
(2) OR を t; a ; b を用いて表せ．
¡
!
¡
!
(3) OS を t; b を用いて表せ．
(4) 線分 OS の長さが 4 となる t の値を求めよ．
（新潟大学 2016 ）
2
3
¡! ¡
!
4ABC の外心を O，重心を G とする．OA = a ，
¡! ¡
! ¡! ¡
!
OB = b ，OC = c とし，
¡
!
¡
!
¡
!
j a j = j b j = j c j = 5;
¡! ¡! ¡!
¡!
4AG+3BG+5CG = 12OG
をみたすとする．次の問いに答えよ．
¡
!
¡
!
¡
! ¡
!
(1) 4 a + 3 b + 5 c = 0 を示せ．
¡
! ¡
! ¡
! ¡
!
¡
! ¡
!
(2) 内積 a ¢ b ， b ¢ c および c ¢ a を求めよ．
¡!
(3) jOGj の値を求めよ．
（新潟大学 2015 ）
とき，次の問いに答えよ．
¡! ¡
! ¡
! ¡
!
¡!
(1) OQ を a ， b ， c を用いて表せ．さらに，OQ
¡!
の大きさ jOQj を求めよ．
¡! ¡!
¡!
¡!
(2) OR と RC の大きさの比 jORj : jRCj を求めよ．
(3) 4OQR の面積を求めよ．
（新潟大学 2014 ）
4
¡
! ¡
!
平面上の 2 つのベクトル a ; b はそれぞれの大
きさが 1 であり，また平行でないとする．次の
問いに答えよ．
(1) t = 0 であるような実数 t に対して，不等式
¡
!
¡
!
0 < j a + t b j2 5 (1 + t)2
が成立することを示せ．
¡
!
(2) t = 0 であるような実数 t に対して p =
¡
!
¡
!
2t2 b
¡
!
¡
! 2 とおき，f(t) = j p j とする．こ
ja +t b j
のとき，不等式
f(t) =
2t2
(1 + t)2
が成立することを示せ．
(3) f(t) = 1 となる正の実数 t が存在することを
示せ．
（新潟大学 2013 ）

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