1 関数 f(x) = x3 ¡ 6x2 + 9x + 1 (1)

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関数 f(x) = x3 ¡ 6x2 + 9x + 1 について，次の問いに答えよ．
(1) f(x) の増減を調べ，極値を求めよ．
(2) 定数 k について，方程式 f(x) ¡ k = 0 の異なる実数解の個数を調べよ．
2
空間内に 5 点 A(1; 1; 1)，B(¡1; 2; 2)，C(0; 1; 3)，D(2; 0; 2)，E(3; 3; 2) がある．
¡! ¡!
(1) AB = DC であることを示せ．
¡! ¡!
(2) AB と AD のなす角を µ とするとき，cos µ の値を求めよ．
¡! ¡!
(3) AB; AD のいずれにも垂直な単位ベクトルを求めよ．
(4) 五面体 ABCDE の体積を求めよ．
3
xy 平面上に 7 点 A(¡4; 1)，B(¡5; 0)，C(¡3; 0)，D(¡2; 1)，E(0; 2)，F(0; 0)，
G(2; 0) がある．四角形 ABCD は右へ，三角形 EFG は左へ，それぞれ x 軸に平行に毎秒
0:5 の速さで移動する．移動開始から t 秒後の状況について，次の問いに答えよ．
(1) 点 F が t1 秒後に点 C と，t2 秒後に点 B と一致した．t1 と t2 の値を求めよ．
(2) t1 < t < t2 とする．このとき，四角形 ABCD と三角形 EFG の重なる部分の面積 S を t
を用いて表し，S の最大値を求めよ．
4
2 点 (2; 1)，(1; 1) をそれぞれ (3; ¡8)，(2; ¡5) に移す 1 次変換を f とするとき，次
の問いに答えよ．
(1) f を表す行列 A を求めよ．
(2) A2 ; A3 を求めよ．
(3) A + A2 + A3 + Ý + An を求めよ．ただし，n は正の整数とする．
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1 辺の長さが 1 の正六角形 ABCDEF の辺上を動く点 P がある．頂点 A を出発して，さい
ころを振るごとに，奇数の目が出たときは時計回りに 1 動き，偶数の目が出たときは反時
計回りに 2 動くという試行を繰り返し，再び頂点 A に戻ったとき試行を終了する．
(1) 3 回の試行すべてにおいて偶数の目が出て，試行を終了する確率を求めよ．
(2) 3 回の試行後，点 P が頂点 A，B，C，D，E，F にいる確率をそれぞれ求めよ．
(3) 3k 回の試行後，試行を終了する確率を求めよ．ただし，k は正の整数とする．
6
B
B
B
空間内に 3 点 P(t; 0; 2t 1 ¡ t2 )，Q(t; 1 ¡ t2 ; 0)，R(t; ¡ 1 ¡ t2 ; 0) を考える．t
が 0 から 1 まで動くとき，三角形 PQR が通過してできる立体を K とする．
(1) 三角形 PQR の面積 S を t を用いて表せ．
(2) 立体 K の体積 V1 を求めよ．
(3) 立体 K を x 軸のまわりに 1 回転してできる立体の体積 V2 を求めよ．

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