1 下図のような ÎB = ÎC = 30± の二等辺三角形 ABC

1
下図のような ÎB = ÎC = 30± の二等辺三角形 ABC において，4ABC の外接円の中心
p
を O，半径を 3 とする．さらに，弧 AC 上に AP = PC となる点 P をとる．次の問いに
答えよ．
(1) 辺 AB，BC の長さを求めよ．
(2) 線分 BP の長さを求めよ．
(3) ÎBPC および CP の長さを求めよ．
(4) 四角形 ABCP の面積を求めよ．
（広島工業大学 2015 ）
2
ジョーカーを除く 1 組 52 枚のトランプのカードを 1 列に並べる試行を考える．
(1) 番号 7 のカードが 4 枚連続して並ぶ確率を求めよ．
(2) 番号 7 のカードが 2 枚ずつ隣り合い，4 枚連続しては並ばない確率を求めよ．
（北海道大学 2015 ）
3
p は奇数である素数とし，N = (p + 1)(p + 3)(p + 5) とおく．
(1) N は 48 の倍数であることを示せ．
(2) N が 144 の倍数になるような p の値を，小さい順に 5 つ求めよ．
（千葉大学 2014 ）
4
以下の問に答えよ．
(1) (2x ¡ 1)7 を展開したときの負の係数の中で，その値が最も小さい項の次数を述べよ．
(2) 次の命題の否定を述べ，その真偽を調べよ．偽の場合には反例をあげよ．
「すべての実数 x; y について，x2 + y2 ¡ 2xy + 2x ¡ 2y + 1 > 0 である」
（北星学園大学 2014 ）
5
k を正の定数とする．円 C : x2 + y2 ¡ 4x ¡ 2y + 1 = 0 と共有点をもたない直線 ` : y =
¡
1
x + k について，次の問いに答えよ．
2
(1) k のとりうる値の範囲を求めよ．
(2) ` 上の 2 点 A，B の座標をそれぞれ (2; k ¡ 1)，(2k ¡ 2; 1) とする．点 P が C 上を動
くとき，4PAB の重心 Q の軌跡を求めよ．
(3) (2) で求めた Q の軌跡と C がただ 1 つの共有点をもつとき，k の値を求めよ．
（滋賀大学 2014 ）
6
自然数 n に対し，次の問いに答えよ．ただし，log10 2 = 0:3010，log10 3 = 0:4771 とする．
(1) 9n が n 桁の整数となる最大の n を求めよ．
(2) 1:2n = 10000 を満たす最小の n を求めよ．
（東北学院大学 2015 ）
7
次の問いに答えよ．
(1) sin 3µ を sin µ で表せ．
(2) cos 3µ を cos µ で表せ．
(3) 関数 y = ¡8 sin3 µ + 6 sin µ ¡ 3 cos µ + 4 cos3 µ + 1 の
¼
5 µ 5 ¼ における最大値と
2
最小値を求めよ．
（岩手大学 2015 ）
8
®; ¯ は ® > 0，¯ > 0，® + ¯ < 1 を満たす実数とする．三つの放物線
C1 : y = x(1 ¡ x);
C2 : y = x(1 ¡ ¯ ¡ x);
C3 : y = (x ¡ ®)(1 ¡ x)
を考える．C2 と C3 の交点の x 座標を ° とする．また，C1 ，C2 ，C3 で囲まれた図形の面
積を S とする．次の問いに答えよ．
(1) ° を ®; ¯ を用いて表せ．
(2) S を ®; ¯ を用いて表せ．
1
(3) ®; ¯ が ® + ¯ =
を満たしながら動くとき，S の最大値を求めよ．
4
（広島大学 2015 ）
9
初項 3 の数列 fan g がある．bn = an+1 ¡ 3an とするとき，数列 fbn g は初項 6，公比 3 の
等比数列である．
an
とするとき，cn+1 ¡ cn を求めなさい．
3n
(2) an を n の式で表しなさい．
n
P
(3) Sn =
ak とするとき，Sn を n の式で表しなさい．
(1) cn =
k=1
（大分大学 2016 ）
¡!
¡
! ¡!
¡
! ¡!
¡
!
10 4ABC の外心を O，重心を G とする．OA = a ，OB = b ，OC = c とし，
¡
!
¡
!
¡
!
j a j = j b j = j c j = 5;
¡!
¡!
¡!
¡!
4AG + 3BG + 5CG = 12OG
をみたすとする．次の問いに答えよ．
¡
!
¡
!
¡
! ¡
!
(1) 4 a + 3 b + 5 c = 0 を示せ．
¡
! ¡
! ¡
! ¡
!
¡
! ¡
!
(2) 内積 a ¢ b ， b ¢ c および c ¢ a を求めよ．
¡!
(3) jOGj の値を求めよ．
（新潟大学 2015 ）

Download Report