1 ¡ t - SUUGAKU.JP

1
空間において，3 点 A(1; 1; 2)，B(¡1; ¡1; 0)，C(0; ¡1; ¡1) を定める．点 P が 2
点 A，B を通る直線上の点であれば，実数 t を用いて，
¡
!
¡!
¡!
CP = (1 ¡ t)CA + tCB
¡
!
と表される．このとき，点 P が CP の長さを最小にするとき，t の値，点 P の座標について，
t=
ニ
;
P(¡
ヌ
; ¡
ネ
;
ノ
)
である．
（山口東京理科大学 2016 ）
2
¡
! ¡
!
三角形 ABC に対して，ベクトル p ; q を
¡
!
p = (sin A; sin B);
¡
!
q = (cos B; cos A)
とするとき
¡
! ¡
!
p ¢ q = sin 2C
が成り立つ．以下の問に答えよ．
(1) 角 C の大きさは
エ
オ
¼ である．
(2) sin A; sin C; sin B はこの順で等差数列をなし，かつ，
¡! ¡! ¡!
CA ¢ (AB ¡ AC) = 32
であるとき，辺 AB の長さは
カ
である．
（早稲田大学 2016 ）
3
¡!
¡
! ¡!
¡
! ¡!
¡
!
空間内に，一辺の長さ 1 の正四面体 OABC がある．OA = a ，OB = b ，OC = c と
するとき，次の問に答えよ．
(1) 辺 AB の中点を D とし，また，辺 OC を k : (1 ¡ k) に内分する点を E とする．ただし，
¡!
¡
! ¡
! ¡
!
0 < k < 1 とする．このとき，DE を， a ， b ， c および k を用いて表せ．
¡!
¡!
(2) DE の大きさ jDEj を k を用いて表せ．
¡! ¡!
(3) 内積 AB ¢ DE を k を用いて表せ．
(4) 4EAB の面積 S を k を用いて表せ．さらに，面積 S を最小にする k の値とそのときの面
積を求めよ．
（早稲田大学 2015 ）
4
¡! ¡
!
空間の 3 点 O(0; 0; 0)，A(1; 1; 1)，B(¡1; 1; 1) の定める平面を ® とし，OA = a ，
¡! ¡
!
¡! ¡
!
OB = b とおく．® 上の点 C があり，その x 座標が正であるとする．ベクトル OC が a
¡! ¡
!
に垂直で，大きさが 1 であるとする．OC = c とおく．
(1) C の座標を求めよ．
¡
!
¡
!
¡
!
(2) b = s a + t c をみたす実数 s; t を求めよ．
¡!
¡
! ¡
!
(3) ® 上にない点 P(x; y; z) から ® に垂線を下ろし，® との交点を H とする．OH = k a +l c
をみたす実数 k; l を x; y; z で表せ．
（北海道大学 2015 ）
5
座標空間内に 5 点
O(0; 0; 0);
A #0; 0;
3
;;
4
B#
1
1
;;
; 0;
2
2
C(s; t; 0);
D(0; u; 0)
がある．ただし，s; t; u は実数で，s > 0，t > 0，s + t = 1 を満たすとする．3 点 A，
B，C の定める平面が y 軸と点 D で交わっているとき，次の問いに答えよ．
(1) 直線 AB と x 軸との交点の x 座標を求めよ．
(2) u を t を用いて表せ．また，0 < u < 1 であることを示せ．
(3) 点 (0; 1; 0) を E とする．点 D が線分 OE を 12 : 1 に内分するとき，t の値を求めよ．
（広島大学 2015 ）
6
¡!
¡!
¡!
平面上の三角形 ABC で，jABj = 7，jBCj = 5，jACj = 6 となるものを考える．また，三
角形 ABC の内部の点 P は，
¡!
¡
!
¡
! ¡
!
PA + sPB + 3PC = 0 (s > 0)
を満たすとする．次の問いに答えよ．
¡!
¡!
¡!
(1) AP = ®AB + ¯AC とするとき，® と ¯ を s を用いて表せ．
¡!
¡!
jBDj
jAPj
(2) 2 直線 AP，BC の交点を D とするとき， ¡! と ¡! を s を用いて表せ．
jDCj
jPDj
(3) 三角形 ABC の面積を求めよ．
p
(4) 三角形 APC の面積が 2 6 となるような s の値を求めよ．
（金沢大学 2015 ）
7
¡!
座標空間内に 3 点 A(1; 0; 0)，B(0; 1; 0)，C(0; 0; 1) をとり，2 つのベクトル AP と
¡
! ¡
!
BP + CP の内積が 0 になるような点 P(x; y; z) の集合を S とする．3 点 A，B，C を通
る平面を ® とするとき，次の問いに答えよ．
(1) 集合 S は球面であることを示し，その中心 Q の座標と半径 r の値を求めよ．
(2) 原点 O から最も遠い距離にある S 上の点の座標を求めよ．
(3) (1) で求めた点 Q は，平面 ® 上にあることを示せ．
(4) (1) で求めた点 Q を通って平面 ® に垂直な直線を ` とする．球面 S と直線 ` のすべての
共有点について，その座標を求めよ．
（岡山大学 2015 ）
8
1 辺の長さが 1 である正四面体 OABC を考える．辺 OA の中点を P，辺 OB を 2 : 1 に内
分する点を Q，辺 OC を 1 : 3 に内分する点を R とする．以下の問いに答えよ．
(1) 線分 PQ の長さと線分 PR の長さを求めよ．
¡! ¡!
¡! ¡!
(2) PQ と PR の内積 PQ ¢ PR を求めよ．
(3) 三角形 PQR の面積を求めよ．
（九州大学 2015 ）
9
¡! ¡
! ¡! ¡
! ¡! ¡
!
¡
! ¡
! ¡
!
4ABC の外心を O とし，OA = a ，OB = b ，OC = c とする． a ， b ， c は
¡
!
¡
!
¡
!
j a j = j b j = j c j = 5;
¡
!
¡
!
¡
! ¡
!
4a +3 b +5 c = 0
をみたすとする．次の問いに答えよ．
¡
! ¡
!
¡
! ¡
!
(1) 100 + 3 a ¢ b + 5 c ¢ a = 0 が成り立つことを示せ．
¡
! ¡
! ¡
! ¡
!
¡
! ¡
!
(2) 内積 a ¢ b ， b ¢ c および c ¢ a を求めよ．
¡!
(3) 4ABC の重心を G とするとき，jOGj の値を求めよ．
（新潟大学 2015 ）
10 4 点 O(0; 0; 0)，A(4; 0; 0)，C(0; 4; 0)，D(0; 0; 4) をとり，下図のように線分 OA，
OC，OD を 3 辺とする立方体 OABC-DEFG を考える．辺 DE，BF の中点を，それぞれ
M，N とする．以下の問いに答えよ．
¡!
¡!
(1) ベクトル GM および GN を成分で表せ．
(2) ÎMGN = µ とする．cos µ の値を求めよ．
(3) 3 点 G，M，N を頂点とする三角形 GMN の面積を求めよ．
(4) 三角錐 FGMN において，三角形 GMN を底面としたときの高さを求めよ．
¡! ¡!
(5) 三角形 GMN を含む平面と線分 OF との交点を P とする．このとき，OP を OF を用いて
表せ．
（長崎大学 2015 ）

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