宿題７ （ルーズリーフ等の切り離しのできる紙に解答して提出すること) 1. 0 ≤ x < 2π, 0 ≤ y < 2π であるとき, 連立方程式 sin x + cos y = √ 3 , cos x + sin y = −1 を満たす x, y を求めよ。 2. xy 平面上の楕円 4x2 + 9y 2 = 36 を C とする。 (1) 直線 y = ax + b が楕円 C に接するための条件を a と b の式で表せ。 (2) 楕円 C の外部の点 P から C に引いた 2 本の接線が直交するような点 P の軌跡を求めよ。 3. 空間内に 4 点 A(0, 0, 1), B(3, 1, 1), C(1, 4, 4), D(1, 1, 2) がある。点 A を 含み, 直線 AD に垂直な平面を L とし, 2 点 B, C の中点を M とする。 (1) 点 M から平面 L に下ろした垂線と L の交点を H とするとき, 点 H の座 標を求めよ。 (2) P を平面 L 上で動く点とするとき, 線分 PB および線分 PC の長さの 2 乗の和 PB2 + PC2 の最小値を求めよ。 Z x 4. a を正の実数とし, fn (x) = e−at sin nt dt (n = 1, 2, 3, · · · · · ·) と 0 おく。 (1) lim fn (x) を求めよ。 x→∞ 3 とするとき, lim fn (x) が最大となる自然数 n, およびそのとき x→∞ 2 の最大値を求めよ。 (2) a = 1
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