Ⅲ 三角形を回転した立体の体積（名古屋大94年）

「パソコンで知る高校数学」
回転体の
回転体の体積－
体積－形状の
形状の観察
名古屋大９４年
xyz 空間内で、 0<a <1 である実数 a に対し、 A ( 0 , 0 , 0 ) , B ( 1 - a , 0 , 0 ) ,
C ( 0 , 1 , a ) を頂点とする三角形を考える。この三角形を z 軸の回りに１回転
してできる立体の体積を最大にする a の値を求めよ。
またそのときの体積を求めよ。
a=0.3
解答は下のとおりで、通常の断面積を積分するとい
う方法で求めることができます。
実際の回転体の形は、左のような変化を見せます。
z 軸上に点P 0 0 , 0 , t1 をとる。（0 < t < a ）
点Pを通りy軸に平行な直線と線分OCとの
交点をQ 、点Q を通りx 軸に
a=0.5
平行な直線と線分BC との交点をR とする。
AQ ：QC ＝t ：a - t 、BR ：RC ＝t ：a - t
であるから、
t
t
t
Q 0 , , t 、P 0 1 - a1 1 , ,t
a
a a
8
9 8
8
9 9
点P を通りxy 平面と平行な平面で回転体を切断
したときの断面は、中心がP で外半径がPR ,
内半径がPQ のリング形となる。
よって求める体積をV 0 a1 とすると、
V 0 a1 =
a=0.8
Q
<
a
0
Q
p0PR 2 - PQ 21 dt ＝
8 98
＝ p0 1 - a1 2
V - 0 a1 =
-a
3
1-
t
a
1
p 0 1 - a1 0 1 - 3a1
3
8
t
p0 1 - a1 2 1 a
0
a
3 a
1
(増減表省略）
a=
9 dt
9 = ＝ 3 pa0 1-a1
0
8 9
1
1
4
=
pp
でV 0 a1 は最大となりV
3
3
81
2
2
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