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等差数列の和
初項２，公差３の等差数列の，
初項から第５項までの和Ｓを求める
S  2  5  8  11  14　・・・①
S  14  11  8  5  2　・・・②
・・・
・・・
・・・
・・・
・・・
S  S  2S
等しい
2  14
5  11
88
11 5
14  2
16 5
初項２，公差３の等差数列の，
初項から第５項までの和Ｓを求める。
S  2  5  8  11  14　・・・①
S  14  11  8  5  2　・・・②
①＋②より
2S  (2  14)  (5  11)  (8  8)  (11  5)  (14  2)
 16 5
1
S  16  5  40
2
等差数列の和の公式
初項 a ，末項 l ，項数 n の等差数列の公差を d とするとき，
初項 a から第 n 項 l までの和 S n を求める。
2 S n  n( a  l )
1
S n  n( a  l )
2
n
個
l  a  (n  1)d を代入し，
1
S n  n{2a  (n  1)d }
2
a
ad
a  2d
l
l d
l  2d
・・・・・
l d
l
ad
a
a l
等差数列の和の公式
初項 a ，末項 l ，項数 n の等差数列の公差を d とするとき，
初項 a から第 n 項 l までの和 S n を求める。
初項 a ，末項
l が与えられたときは，
1
S n  n( a  l )
2
を利用する。
初項 a ，公差 d が与えられたときは，
1
S n  n{2a  (n  1)d }
2
を利用する。
例１
（１）等差数列３，７，11，15，・・・の初項から第20項までの和
S 20 を求めよ。
1
S n  n{2a  (n  1)d }
2
初項が３，公差が４であるから，
S 20 
1
 20  2  3  (20  1)  4  820
2
（２）５から31までの奇数の和５＋７＋９＋・・・＋３１を求めよ。
初項が５，公差が２の等差数列の和で，31を第 n 項として，
31  5  2(n  1)
これより，項数 n  14
S14 
1
14  (5  31)  252
2
1
S n  n( a  l )
2
問１次の等差数列の和を求めよ。
（１）初項７，末項61，項数10
1
S10  10  (7  61)  340
2
1
S n  n( a  l )
2
（２）初項－10，公差４，項数13
1
S13  13  2  (10)  (13  1)  4  182
2
1
S n  n{2a  (n  1)d }
2
問１次の等差数列の和を求めよ。
（３）初項41，公差ー６，項数８
1
S n  n{2a  (n  1)d }
2
1
S8   8  2  41  (8  1)  (6)  160
2
（４）（－５）＋（－２）＋１＋・・・22
初項が－５，公差が３の等差数列の和で，22を第
22  5  3(n  1)
これより，項数 n  10
1
S10  10  (5  22)  85
2
n 項として，
1
S n  n( a  l )
2
例２初項24，公差－４の等差数列において，初項から第 n 項
までの和を S n として， S n  60 となる n の値を求めよ。
1
S n   n  2  24  (n  1)  (4)   2n 2  26n
2
S n  60 より
 2n 2  26n  60
n 2  13n  30  0
(n  2)( n  15)  0
n  2　， 15
n は自然数であるから，
n  15
Sn 
1
n{2a  (n  1)d }
2
問２初項－21，公差３の等差数列において，初項から第 n 項
までの和を S n とする。
1
S n  n{2a  (n  1)d }
（１） S n を n の式で表せ。
2
1
3
S n   n  2  (21)  (n  1)  3  n(n  15)
2
2
（２） S n  81 となる
n の値を求めよ。
3
n(n  15)  81
2
n 2  15n  54  0
(n  3)( n  18)  0
n  3 ， 18
n
は自然数であるから，
n  18

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