1 実数 k は 0

1
実数 k は 0 < k < 2 をみたし，xy 平面上の曲線 C を y = ¡x2 + 4 (x = 0)，直線 ` を
y = 4 ¡ k2 とする．次の各問に答えよ．
(1) y 軸，曲線 C，直線 ` で囲まれる部分の面積を S1 とすると，S1 =
ア
イ
k ウとなる．
(2) 直線 x = 2，曲線 C，直線 ` で囲まれる部分の面積を S2 とすると，
S2 =
エ
オ
k カ ¡
キ
k ク +
ケ
コ
となる．
(3) 2 つの面積の和 S = S1 +S2 を考える．S の最小値は
サ
である．このとき k =
シ
である．
（東洋大学 2015 ）
2
f(x) = ¡
1
1 3
x + x2 + 2 とする．以下の問いに答えよ．
3
2
(1) f(x) の導関数 f0 (x) を求めよ．
(2) f(x) の増減表をかき，極値を求めよ．
(3) y = f0 (x) のグラフと x 軸で囲まれた部分の面積を S1 とする．S1 を求めよ．
(4) 0 < k < 1 とする．直線 y = kx と y = f0 (x) のグラフで囲まれた部分の面積を S2 と
する．S2 を k の式で表せ．
1
(5) S2 が S1 の
となるときの k の値を求めよ．
8
（神奈川大学 2014 ）
3
関数 f(x) =
x2
¡ 2 x ¡ 1 + 2 について，次の各問に答えよ．
2
(1) y = f(x) のグラフをかけ．
(2) ¡4 5 x 5 2 のときの f(x) の最大値と最小値を求めよ．
(3) 曲線 y = f(x) と直線 y = x で囲まれた 3 つの部分の面積の和を求めよ．
（名城大学 2016 ）
4
放物線 y = ¡x2 + x + 2 に点 (0; 3) から接線を引く．このとき，次の問に答えよ．
(1) 接線の方程式を求めよ．
(2) この放物線と (1) で求めた 2 本の接線で囲まれた図形の面積を求めよ．
（広島修道大学 2012 ）
5
1
1
1
とする．曲線 C : y = x2 上の 2 点 P # ; ; と Q(a; a2 ) を
2
4
2
とる．点 P を通り P における C の接線と直交する直線を ` とし，点 Q を通り Q における
a を正の実数とし，a Ë
C の接線と直交する直線を m とする．` と m の交点が C 上にあるとき，以下の問いに答
えよ．
(1) a の値を求めよ．
(2) 2 直線 `; m と曲線 C で囲まれた図形のうちで y 軸の右側の部分の面積を求めよ．
（東北大学 2012 ）
6
3
2 つの曲線 y = x3 ¡ x ÝÝ1 および y = (x ¡ a) ¡ (x ¡ a) ÝÝ2 がある．ただし，
a > 0 とする．次の問に答えよ．
(1) 2 が x = x1 で極大値，x = x2 で極小値をとり，x = x1 ; x2 における曲線 2 上の点を
それぞれ A，B とするとき，直線 AB の方程式を求めよ．
(2) 曲線 1; 2 が異なる 2 点で交わるとき，a の値の範囲を求めよ．
(3) (2) のとき，曲線 1; 2 の交点の x 座標を ®; ¯ (® < ¯) とする．¯ ¡ ® を a を用いて
表せ．
(4) (2) のとき，曲線 1; 2 で囲まれた部分の面積 S を a を用いて表せ．
（早稲田大学 2013 ）
7
次の問いに答えよ．
(1) ®; ¯ を実数の定数とするとき，
Z
¯
®
(x ¡ ®)(x ¡ ¯) dx
を計算せよ．
(2) 点 (1; 2) を通る直線と放物線 y = x2 とで囲まれる部分の面積が最小となるときの直線
の傾きを求めよ．
（東北学院大学 2012 ）
8
a を実数とする．2 つの放物線 C1 : y = x2 ，C2 : y = ¡x2 + 2x + a は異なる 2 点 P，Q
で交わるとする．次の各問に答えよ．
(1) a の値の範囲を求めよ．
(2) P，Q における C1 の接線をそれぞれ `1 ，`2 とする．`1 ，`2 が互いに直交するような a の
値を求めよ．
(3) C1 ; C2 で囲まれた図形の面積が 9 となるような a の値を求めよ．
（東京電機大学 2016 ）

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