灘高 13年

灘高数学
灘高
灘進学教室
１３年
１
a b + b2
2b + 2c
a c c2
を因数分解せよ。
２
であり、 a ,
b 0, c 0, b c
4
b
2
c a
b
(1)
a+b+c
(2)
a+b= 2
4
c
= 3、
b, c
a b
c
は次式を満たす。
2
=3
の値を求めよ。
のとき
a b の値を求めよ。
【解答】
１ a b + b2
a c c2
c) + b 2 c 2
＝ a (b
＝ (b
2b + 2c
2b + 2c
c)(a + b + c 2)
２
(1)
4 b ( a c )2 = 3b2
... ①
4 c ( a b )2 = 3 c2
... ②
①−②
より
4 ( b c ) ( b c ) ( 2 a b c ) = 3( b c ) ( b + c )
b c
だから
4 ( 2 a b c ) = 3( b + c )
∴
a+b+c=2
... ③
(2)
a+b= 2
のとき
③より
c=2
これと
②より
2
( a b ) 2 = c ( 4 3 c)
= (2
2) ( 2+3 2)
( a + b )2
∴a b = 3
4 a b = 10 + 8 2
2 2
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１３年
１
(1)
図において、ＡＢ＝ＡＣ＝４で、△ＢＣＤは辺ＢＣを斜辺とする直角二等辺三角形、
また、ＢＥ⊥ＡＣである。
このとき、∠ＡＥＤ＝
さらに∠ＢＡＣ＝４５゜のとき、線分ＤＥの長さは
度である。
である。
(2)
座標平面上に３点Ｏ
放物線
k
y = k x2
＝
( 0 , 0 ) 、Ａ ( 1 , 2 )
（k
、Ｂ
( 2 , 0 ) がある。
> 0 ）上に、ＯＰ＝ＡＰ＝ＢＰとなる点Ｐをとることができるとき、
であり、この放物線と直線ＡＢの交点をＣ、Ｄとおくと、△ＰＣＤの面積は
である。
２
長方形ＡＢＣＤの辺ＢＣ、ＣＤ、ＤＡ上にそれぞれ点Ｅ、Ｆ、Ｇをとり、
線分ＥＧ上に点Ｈをとると図のようになり、四角形ＡＢＥＧ、ＨＥＣＦはともに正方形となった。
なお、答えが複数ある場合は、それらをすべて答えること。
(1)
長方形ＡＢＣＤの面積が長方形ＧＨＦＤの面積の６倍であるとき、
ＢＥ：ＥＣをできるだけ簡単な整数の比で表せ。
(2)
△ＡＢＣの面積が６、△ＦＤＧの面積が１であるとき、正方形ＡＢＥＧの面積を求めよ。
４
図のように、円Ｏの外部の点Ｐからこの円に引いた２つの接線と円Ｏとの接点をＡ、Ｂとおく。
Ｐを通る直線が円Ｏと異なる２点Ｃ、Ｄで交わるとする。
この直線は円Ｏの中心Ｏを通らないとする。
２直線ＡＢ、ＣＤの交点をＥとおき、線分ＡＢ、ＣＤの中点をそれぞれＭ、Ｎとおく。
(1)
PA 2 = P O × P M
を証明せよ。
(2)
PA 2 = P E × P N
を証明せよ。
(3)
ＰＣ＝３、ＰＤ＝７、ＯＥ＝２のとき、円Ｏの半径を求めよ。
５
一辺の長さがすべて４である正四角すいＯ−ＡＢＣＤがある。
辺ＡＤ、ＡＢ、ＢＯ上に、ＡＰ＝ＡＱ＝ＢＲ＝１となるように点Ｐ、Ｑ、Ｒをそれぞれとる。
３点Ｐ、Ｑ、Ｒを通る平面を
(1)
平面
(2)
平面
K
K
K
とする。
と辺ＯＣとの交点をＳとおく。線分ＯＳの長さを求めよ。
による正四角すいＯ−ＡＢＣＤの断面の面積を求めよ。
６
図の直方体ＡＢＣＤ−ＥＦＧＨにおいて、四角形ＡＢＣＤは一辺の長さが４の正方形で、ＡＥ＝２４である。
また、Ｋ、Ｌ、Ｍはそれぞれ辺ＡＥ、ＢＦ、ＤＨの中点である。
１個のさいころを３回投げて、出た目の数を順に
a, b, c
とするとき、
a となる点Ｐをとり、線分ＬＦ上にＬＱ＝ b
線分ＭＨ上にＭＲ＝ c となる点Ｒをとる。
線分ＫＥ上にＫＰ＝
となる点Ｑをとり、
そして、３点Ｐ、Ｑ、Ｒを通る平面と直線ＣＧの交点をＳとおく。
(1)
四角形ＰＱＳＲが長方形となる確率は
(2)
線分ＰＳの長さを
①
②
、ひし形となる確率は
x とおく。
x が整数であるとき、 x の取り得る値をすべて求めよ。
x が整数となる確率を求めよ。
である。

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