Blatt 4 - Mathematik

Blatt 4 der Übungen zur Vorlesung
Gewöhnliche Differentialgleichungen von PD Dr. Peter Philip,
LMU München, Sommersemester 2016
Dr. Jan Swoboda
2. Mai 2016
1. (10 Punkte) Betrachten Sie das Anfangswertproblem
(
x0 = x + y,
y0 = x − y
mit (x(0), y(0)) = (1, 1). Berechnen Sie auf dem Intervall I = [−0.2, 0.2] eine Näherungslösung φ mittels des eulerschen Polygonzugverfahrens zur Schrittweite h = 0.1.
2. (10 Punkte) Seien a, b ∈ R, a < b und f : [a, b] → R. Erinnerung: Die Funktion f heißt
• Lipschitz-stetig genau dann, wenn es eine Konstante k > 0 gibt, so dass
|f (x1 ) − f (x2 )| ≤ k|x1 − x2 |
für alle x1 , x2 ∈ [a, b].
• gleichmäßig stetig genau dann, wenn es für jedes ε > 0 ein δ > 0 gibt, so dass für
alle x1 , x2 ∈ [a, b] mit |x1 − x2 | < δ
|f (x1 ) − f (x2 )| < ε
ist.
Man zeige:
f ∈ C 1 (I)
=⇒
f ist Lipschitz-stetig
=⇒
f ist gleichmäßig stetig.
Beweisen oder widerlegen Sie auch die Umkehrungen dieser Implikationen.
3. (10 Punkte) Zeigen Sie, dass die Differentialgleichung
y 0 = x2 y 2
zu jeder Anfangsbedingung y(x0 ) = y0 , (x0 , y0 ) ∈ R2 , eine eindeutig bestimmte maximale Lösung besitzt. Bestimmen Sie auch das maximale Existenzintervall dieser
Lösung.
4. (10 Punkte) Logistische Differentialgleichung. Der zeitliche Verlauf der Größe u einer
Population von Tieren oder Pflanzen läßt sich näherungsweise beschreiben durch die
Differentialgleichung
u̇ = β(K − u)u
(K, β > 0).
(1)
(a) Zeigen Sie, dass die Differentialgleichung (1) nach Substitution y(t) =
in die sogenannte logistische Differentialgleichung
ẏ = (1 − y)y
(b)
(c)
(d)
(e)
1
u(t/βK)
K
(2)
übergeht.
Zeigen Sie, dass die Differentialgleichung (2) den Voraussetzungen des Satzes von
Picard-Lindelöf genügt. Folgern Sie, dass jede Lösung y entweder konstant ist mit
y ≡ 0 oder y ≡ 1 oder die Werte y(t) = 0 und y(t) = 1 nicht annimmt.
Man betrachte das Anfangswertproblem zur Differentialgleichung (2) für einen Anfangswert y(0) = y0 mit 0 < y0 < 1. Zeigen Sie, dass dieses Anfangswertproblem
eine eindeutig bestimmte maximale Lösung y = y(t, y0 ) mit Tmax = ∞ besitzt und
dass 0 < y(t, y0 ) < 1 für alle t ∈ [0, ∞) gilt.
Beweisen Sie, dass die Lösung y des Anfangswertproblems aus (c) eine monoton
steigende Funktion ist und limt→∞ y(t, y0 ) = 1 gilt.
Man zeige, dass für Anfangswerte y0 > 1 ebenfalls Tmax = ∞ gilt.
Abgabe des Übungsblattes bis Freitag, 13.05.2016, 14 s. t., im Kasten zur Vorlesung
neben der Bibliothek.
Hinweis: Es erfolgt eine Punkteteilung bei gemeinsamer Abgabe, das heißt, die Punkte
einer Aufgabe werden zwischen allen, die identische oder abgeschriebene Lösungen für die
Aufgabe abgeben, geteilt. Weitere Hinweise zur Vorlesung und den Übungen sind auf der
Seite
http://www.math.lmu.de/~swoboda/DGL_SoSem16.html
zu finden.

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