Musterlösung zur Zusatzaufgabe 5

PD Dr. T. Timmermann
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Grundlagen der Analysis, Topologie und Geometrie
Übungsblatt 8
Musterlösung der Zusatzaufgabe 5
Zusatzaufgabe 5. (Der Fundamentalsatz der Algebra mit Hilfe der Windungszahl)
Wir betrachten ein Polynom p(x) = xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 mit komplexen
Koeffizienten a0 , . . . , an−1 ∈ C. Zur Vereinfachung nehmen wir an, dass |a0 | + · · · +
|an−1 | < 1. Ferner nehmen wir an, dass p keine Nullstelle hat.
(a) Zeigen Sie, dass die Wege u : t 7→ p(e2πit ) und wn : t 7→ e2πint in C \ {0} frei
homotop sind. (Hinweis: Betrachten Sie Konvexkombinationen.)
Lösung: Definiere H : [0, 1]2 → C durch
H(s, t) := e2πins + t(an−1 e2πi(n−1)s + · · · + a1 e2πis + a0 ).
Dann ist H(−, 0) = wn , H(−, 1) = u und H(s, t) 6= 0 für alle s, t, weil nach
Voraussetzung
|t(an−1 e2πi(n−1)s + · · · + a1 e2πis + a0 )| ≤ |an−1 | + · · · + |a0 | < 1 = |e2πins |.
(b) Zeigen Sie, dass u in C \ {0} homotop zu einem konstanten Weg ist.
Lösung: In {z ∈ C : |z| ≤ 1} finden wir eine Homotopie K von w1 : t 7→ e2πit zu
einem konstanten Weg, weil die Menge konvex ist; da p(z) 6= 0 für alle z ∈ C, ist
dann p ◦ K eine Homotopie in C \ {0} von u zu einem konstanten Weg.
(c) Schließen Sie auf einen Widerspruch.
Lösung: Sei H die Homotopie aus (a) und v = H(0, −) = H(1, −). Dann ist
nach Aufgabe 4 von Blatt 7
[v ∗ u ∗ v] = [wn ]
in π1 (C \ {0}, 1) ∼
= π1 (S 1 , 1) ∼
= Z nicht-trivial, aber nach (b) ist v ∗ u ∗ v homotop
zu v ∗ v und damit zum konstanten Weg, also [v ∗ u ∗ v] trivial. Damit erhalten
wir einen Widerspruch.
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