Laplacetransformation II Aufgabe 1: Berechnen Sie die Lösung des Anfangswertproblems ẋ + x = t (σ(t) − σ(t − 1)) , x(0) = 0. Aufgabe 2: Berechnen Sie die Lösung des Anfangswertproblems ẍ + ẋ = e T −t σ(t − T ), x(0) = 1, ẋ(0) = 0, T > 0. Aufgabe 3: Berechnen Sie die Lösung des Anfangswertproblems ẍ + 2ẋ − ẏ = 0, ÿ + ẋ = 0, x(0) = 0, ẋ(0) = 1, y(0) = 0, ẏ(0) = 0. Aufgabe 4: Ein Einweggleichrichter blendet bei einer sinusförmigen Wechselspannung mit Kreisfrequenz ω > 0 die negativen Halbwellen aus. Zeigen Sie, dass für die abgebildete Funktion f die folgende Korrespondenz gilt: f (t) d t F (s) = 1 ω . π −ω s s2 + ω 2 1−e Aufgabe 5: Ein lineares, zeitinvariantes System besitzt die Übertragungsfunktion G(s) = e −T s , s2 + s T > 0. Berechnen und skizzieren Sie die Impulsantwort g des Systems und ermitteln Sie das Ausgangssignal o für das Eingangssignal i(t) = σ(t) − σ(t − T ). 1
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