¨Ubungen zum Kurs Gewöhnliche Differentialgleichungen

Übungen zum Kurs
Gewöhnliche Differentialgleichungen
7. Übung – Existenz und Eindeutigkeit
1. Für welche Punkte (x0 , y0 ) ∈ R2 besitzt das Anfangswertproblem
p
y 0 = |y|, y(x0 ) = y0
auf ganz R eine eindeutige Lösung?
2. Seien I, J ⊂ R offene Intervalle und f : I −→ R sowie g : J −→ R stetige Funktionen.
Weiter mögen die Integrale
Z y0 +α
Z y0
1
1
ds und
ds
g(s)
y0
y0 −α g(s)
divergieren und
g(y0 ) = 0,
g(y) 6= 0
in
[y0 − α, y0 ) ∪ (y0 , y0 + α]
für ein α > 0 gelten. Zeigen Sie, dass dann y ≡ y0 die einzige Lösung des Anfangswertproblem
y 0 = f (x) g(y),
y(x0 ) = y0
mit
x0 ∈ I, y0 ∈ J
ist.
3. Gegeben seien der Quader R = [a, b]×[c1 , d1 ]×· · ·×[cn , dn ] und eine stetige Funktion
f : R −→ Rn , welche der Lipschitz-Bedingung
|f (x, y) − f (x, y)| ≤ L|y − y|,
x ∈ [a, b], y, y ∈ [c1 , d1 ] × · · · × [cn , dn ].
genügt. Dann existiert für alle Punkte (x0 , y0 ) aus dem Inneren von R genau eine
Lösung des Anfangswertproblems
y 0 = f (x, y),
y(x0 ) = y0
auf einem Intervall (x0 − ξ1 , x0 + ξ2 ) mit
dn − y0 y0 − cn
d1 − y0 y0 − c1
,
,··· ,
,
,
ξ1 = min x0 − a,
m
m
m
m
d1 − y0 y0 − c1
dn − y0 y0 − cn
ξ2 = min b − x0 ,
,
,··· ,
,
m
m
m
m
und
m = max {|f (x, y)| : (x, y) ∈ R} .
4. Sei M ⊂ R1+n eine offene Menge und f : M −→ Rn eine stetige Funktion, welche
einer lokalen Lipschitz-Bedingung bezüglich y genügt. Zeigen Sie, dass dann zu jedem (x0 , y0 ) ∈ M eine Umgebung um x0 existiert, auf welcher dass das Anfangswertproblem
y 0 = f (x, y),
y(x0 ) = y0
eindeutig lösbar ist.
5. Zeigen Sie, dass die Funktion
f (x, y) =



4x3 y
(x4 + y 2 )
:
x2 + y 2 > 0


0
:
x = y = 0.
auf ganz R2 stetig ist aber in keiner Umgebung der Null einer lokalen LipschitzBedingung bezüglich y genügt.

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