Retardierte Potentiale 2=∆− 1 2 ∂ c2 t Aufgabe Lösung der Wellengl. 2ψ = −4πf , Greensche Funktion Elementarlösung. für “Punktblitz” 2G(r−r′ , t−t′ ) = −4πδ 3 (r−r′)δ(t−t′ ) , ψ ∈ {Φ, Ax , Ay , Az } ′ Translationsinv. ←→ nurZ x = r−r′ , Zeittransl.inv. ←→ nur Z τ = t−t dω Fourierdarst.: G(x, τ ) = G̃(x, ω)e−ıωτ ←→ G̃(x, ω) = dτ eıωτ G(x, τ ) 2π Z ω dτ eıωτ ... auf Wellengl. =⇒ ∆ + k 2 G̃ = −4πδ 3 (x) , k = c 2 g ∂ ∆ = rotationsinvariant =⇒ G̃ = =⇒ + k 2 g = 0 für r > 0 2 r ∂r ±ıkr e & Normierung bei r −→ 0 (ε-Kugel) =⇒ g = e±ıkr =⇒ G̃ ∝ r ′ ω e±ık|r−r | , k= G̃ (r−r , ω) = =⇒ ′ |r−r | c Z 1 r cδ(r ± τ ) 1 dω r (±) Fourier-Rück. G (r, τ ) = exp ±ıω −ıωτ = δ ∓ τ = r 2π c r c r (±) =⇒ ′ cδ |r−r′| ∓ c(t−t′ ) G(±) (r−r′, t−t′ ) = |r−r′| G(+) ←→ |r−r′| = c(t−t′ ) > 0 retardiert (−) ′ ′ G ←→ −|r−r | = c(t−t ) < 0 avanciert allgemeine Lösung ψ(r, t) = ψhom (r, t) + Z d3 r ′ dt′ G(+) (r−r′, t−t′ )f (r′ , t′ ) homogene Lsg. 2ψhom = 0 ←→ Anfangsbedingungen für Φ & A mit Anfangsbedingung Φ = 0 & A = 0: Z ′ ′ 3 ′ ′ cδ |r−r | − c(t−t ) Φ(r, t) = d r dt ρ(r′ , t′ ) ′| |r−r Z ′ ′ cδ |r−r | − c(t−t ) 1 d3 r ′ dt′ j(r′ , t′ ) A(r, t) = c |r−r′| Punktteilchen Bahn r0 (t′ ) =⇒ =⇒ Φ(r, t) = ρ(r′ , t′ ) = eδ 3 (r′ − r0 (t′ )) e , tret = t − |r−r0(tret )|/c |r−r0(tret )| analog für j & A ←→ 2ψ = −4πf