PD Dr. T. Timmermann
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Grundlagen der Analysis, Topologie und Geometrie
Übungsblatt 7
Musterlösung zu Aufgabe 5
Zusatzaufgabe 5.
Zeigen Sie für die Räume Y und X aus Aufgabe 3:
(a) Für keine a < b gibt es eine stetige Abbildung w : [a, b] → X mit w((a, b]) ⊆ Y und
w(a) ∈ {0} × [−1, 1].
±
±
(Hinweis: Finden Sie t±
n ∈ (a, b] mit tn → a und w(tn ) → (0, ±1).)
Lösung: Angenommen, solch ein w existiert. Schreibe w(t) = (x(t), y(t)). Dann ist
x : [a, b] → R stetig, x(a) = 0 und x(t) > 0 für t > a. Nach dem Zwischenwertsatz finden
wir für jedes n jeweils t±
n ∈ (a, a + 1/n) mit x(tn ) ∈ {1/(2k ± 1/2) : k ∈ N}. Dann folgt
±
t±
→
a
und
±1
=
y(t
)
n
n → y(0), ein Widerspruch.
(b) X ist nicht wegzusammenhängend.
Lösung: Sonst müsste ein Weg w : [0, 1] → X mit w(0) = (0, 0) und w(1) = (1, 0)
existieren. Wir setzen a = sup{t ∈ [0, 1] : w(t) 6∈ Y }, wenden (b) auf w|[a,1] an, und
erhalten einen Widerspruch.
1

Musterlösung zur Zusatzaufgabe 5

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