Serie 07 - Universität Münster

Westfälische Wilhelms-Universität Münster, Numerische und Angewandte Mathematik
16. Juni 2016
Übungsaufgaben Dynamische Systeme
Vorlesung von Prof. Dr. Michael Herrmann im Sommersemester 2016
Serie 7: Gewöhnliche Differentialgleichungen, Teil II (3 Aufgaben, 26 Punkte)
Abgabe am 27. Juni 2016
Aufgabe 1 [8 Pkt.]
(Qualitatives Verhalten für autonome Gleichungen in 1D)
Die stetig differenzierbare Funktion f : R → R sei beschränkt und besitze nur endlich viele
Nullstellen. Beweisen Sie, dass jede maximale Lösung der Differentialgleichung
ẋ = f (x)
monoton ist und für alle Zeiten t ∈ R existiert. Diskutieren Sie außerdem das Verhalten
dieser Lösungen für t → −∞ and t → +∞.
Aufgabe 2 [10 Pkt.]
(Gradientenfluss in 2D)
Wir betrachten das Anfangswertproblem
−∂x1 E(x)
ẋ2
=
,
ẋ2
−∂x2 E(x)
x(0) = x0 = (x0,1 , x0,2 ),
wobei die Funktion E : R2 → R zweimal stetig differenzierbar und strikt konvex sei mit
E(0) = 0 und ∂xi E(0) = 0 für i = 1, 2. Zeigen Sie, dass E entlang jeder nichtstationären
Lösung abnimmt ist, d.h. dass
d
E x(t) < 0
dt
für jede Lösung gilt. Zeigen Sie außerdem, dass jede maximale Lösung für alle Zeiten t > 0
existiert und für t → +∞ gegen (0, 0) konvergiert.
Hinweis:
Anstatt allgemeiner Funktionen E können Sie (hier und in der nächsten Aufgabe) auch ein konkretes (aber nicht-quadratisches) Beispiel betrachten, wie
zum Beispiel
E(x1 , x2 ) = x21 + x22 + x41 + x42
oder
E(x1 , x2 ) = exp x21 + 2x22 .
Versuchen Sie außerdem, die Behauptung zunächst auf einer heuristischen Ebene zu verstehen und überlegen Sie dann, ob und wie Sie einen Beweis führen
können.
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Aufgabe 3 [8 Pkt.]
(Hamiltonsches System in 2D)
Wir betrachten das Anfangswertproblem
ẋ1
+∂x2 E(x)
=
,
ẋ2
−∂x1 E(x)
x(0) = (x0,1 , x0,2 ),
wobei die Funktion E : R2 → R wie in der vorherigen Aufgabe sei. Zeigen Sie, dass E entlang
jeder Lösung konstant ist, d.h. dass
d
E x(t) = 0
dt
für jede Lösung gilt. Schließen Sie hieraus, dass jede maximale Lösung für alle Zeiten existiert
und darüberhinaus periodisch ist, d.h. dass es für jede Lösung x ein T gibt, so dass x(t) =
x(t + T ) für alle t ∈ R gilt.
Hinweis:
Wie in Aufgabe 2.
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