Lösungen zu den Aufgaben

Übungen:
a) Stellen Sie die Verknüpfungstafeln des Körpers Z5 auf
b) Lösen Sie das folgende LGS jeweils über R, Z5 und Z7 :
x1
4x1
+ 3x2
= 1
x2 + 3x3 = 1
+ x2 + 2x3 = 0
Lösung: a) Die Verknüpfungstafeln des Körpers Z5 lauten
+5
0
1
2
3
4
0
0
1
2
3
4
1
1
2
3
4
0
2
2
3
4
0
1
3
3
4
0
1
2
4
4
0
1
2
3
·5
0
1
2
3
4
0
0
0
0
0
0
1
0
1
2
3
4
2
0
2
4
1
3
3
0
3
1
4
2
4
0
4
3
2
1
und
b) Über R gibt es genau eine Lösung:
x1 = −
1
2
1
, x2 = , x3 =
5
5
5
Über Z5 gibt es keine Lösung.
Über Z7 gibt es die Lösungsmenge
 
 
5
2
c ∈ Z7 }




4
L={ 1
+c·
0
1
Diese Menge hat genau 7 Elemente.
Übung: Zeigen Sie dass
W := {f ∈ F (R, R) | f zweimal differenzierbar mit f 00 = f }
ein Untervektorraum von F (R, R) ist.
Lösung: Die Nullfunktion liegt offensichtlich in W und mit f, g ∈ W und
c ∈ R gilt
(f + g)00 = f 00 + g 00 = f + g , (c · f )00 = c · f 00 = c · f
also gilt f + g ∈ W und c · f ∈ W . Daher ist W ein Untervektorraum.
Übungen:
a) Zeigen Sie dim(K n ) = n
b) Zeigen Sie dass
1
1
(
,
)
1
−1
eine Basis von R2 ist.
Lösung: a) Es gilt



x1

 .. 

 .  = x1 · 

xn
1
0
..
.






 + x2 · 


0


0
 .. 

 

 + · · · + xn ·  . 
 0 

0
1
0
1
..
.

und diese Darstellung ist eindeutig. Somit ist
   
1
0
 0   1 
   
{ ..  ,  ..  , . . . ,
 .   . 
0
0


0
 .. 
 . 
 }
 0 
1
eine Basis von K n und es gilt daher dim(K n ) = n.
b) Es gilt
x1 − x2
x1 + x2 1
1
+
=
1
−1
2
2
und diese Darstellung ist eindeutig! Daraus folgt die Basiseigenschaft.
x1
x2
2
Übung: Bestimmen Sie eine zweimal differenzierbare Funktion g mit
g 00 = g, g(0) = 2, g 0 (0) = −1
Lösung: Hier ist
c1 =
g(0) + g 0 (0)
1
g(0) − g 0 (0)
3
=
, c2 =
=
2
2
2
2
Das gesuchte g ist also gegeben durch
3
1
g(x) = ex + e−x
2
2
3

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