PD Dr. T. Timmermann [email protected] Grundlagen der Analysis, Topologie und Geometrie Übungsblatt 3 Musterlösung zu Aufgabe 5 Zusatzaufgabe 5. (Zariski-Topologie auf dem Spektrum eines kommutativen Ringes) Sei R ein kommutativer Ring mit Eins. Ein Ideal in R ist eine Teilmenge I ⊆ R mit folgenden Eigenschaften: (1) a, b ∈ I ⇒ a + b ∈ I, (2) a ∈ I, r ∈ R ⇒ ar, ra ∈ I. Ein Ideal p ( R heißt Primideal, falls für alle f, g ∈ R aus f 6∈ p und g 6∈ p auch f g 6∈ p folgt. Bezeichne Spec(R) die Menge aller Primideale in R. Zeigen Sie: (a) Alle Mengen der Form UJ := {p ∈ Spec(R) : J 6⊆ p} (J ⊆ R ein Ideal) bilden eine Topologie auf Spec(R) (genannt die Zariski-Topologie.) Lösung: Offenbar ist U{0} = ∅, UR = ∅. P Sei I eine Menge von Idealen. Dann ist die Summe J := I∈I I ⊆ R wieder ein S Ideal und UJ = I∈I UI , denn für jedes p ∈ Spec(R) gilt: p ∈ UJ ⇔ J 6⊆ p ⇔ ∃I ∈ I : I 6⊆ p ⇔ ∃I ∈ I : p ∈ UI . Seien I, J Ideale und bezeichne IJ ⊆ R die Menge aller endlichen Summen von Produkten der Form ab mit a ∈ I und b ∈ J. Dann ist IJ ein Ideal und UIJ = UI ∩ UJ , denn für jedes p ∈ Spec(R) gilt: p ∈ UI ∩ UJ ⇔ ∃f ∈ I, g ∈ J : f, g 6∈ p ⇔ ∃f ∈ I, g ∈ J : f g 6∈ p ⇔ IJ 6⊆ p ⇔ p ∈ UIJ . Hier wird für die zweite Äquivalenz verwendet, dass p ein Primideal ist. (b) Alle Mengen der Form Uf = {p ∈ Spec(R) : f 6∈ p} (f ∈ R) bilden eine Basis der Zariski-Topologie. Lösung: Wir zeigen zunächst, dass Uf für jedes f ∈ R offen ist. Bezeichne (f ) = Rf ⊆ R das von f erzeugte Hauptideal. Dann gilt für jedes p ∈ Spec(R) f ∈ p ⇒ (f ) ⊆ p, f 6∈ p ⇒ (f ) 6⊆ p, also Uf = U(f ) . Jede offene S Menge UJ ist Vereinigung von Mengen der Form Uf : nach Definition ist UJ = f ∈J UJ . Schließlich folgt aus der Definition von Primidealen Uf ∩ Ug = Uf g . (c) Ist S ein weiterer kommutativer Ring mit Eins und π : R → S ein Ringhomomorphismus, so ist die Abbildung π ∗ : Spec(S) → Spec(R), p 7→ π −1 (p) stetig bezüglich der Zariski-Topologie. Lösung: Das Urbild jeder offenen Menge ist offen, weil (π ∗ )−1 (Uf ) = Uπ(f ) für jedes f ∈ R: Ist q ∈ Spec(S), so gilt π ∗ (q) ∈ Uf ⇔ f 6∈ π −1 (q) ⇔ π(f ) 6⊆ q ⇔ q ∈ Uπ(f ) . 1
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