Musterlösung zur Zusatzaufgabe 5

PD Dr. T. Timmermann
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Grundlagen der Analysis, Topologie und Geometrie
Übungsblatt 3
Musterlösung zu Aufgabe 5
Zusatzaufgabe 5. (Zariski-Topologie auf dem Spektrum eines kommutativen Ringes)
Sei R ein kommutativer Ring mit Eins. Ein Ideal in R ist eine Teilmenge I ⊆ R mit
folgenden Eigenschaften:
(1) a, b ∈ I ⇒ a + b ∈ I,
(2) a ∈ I, r ∈ R ⇒ ar, ra ∈ I.
Ein Ideal p ( R heißt Primideal, falls für alle f, g ∈ R aus f 6∈ p und g 6∈ p auch f g 6∈ p
folgt. Bezeichne Spec(R) die Menge aller Primideale in R. Zeigen Sie:
(a) Alle Mengen der Form
UJ := {p ∈ Spec(R) : J 6⊆ p}
(J ⊆ R ein Ideal)
bilden eine Topologie auf Spec(R) (genannt die Zariski-Topologie.)
Lösung: Offenbar ist U{0} = ∅, UR = ∅.
P
Sei I eine Menge
von
Idealen.
Dann
ist
die
Summe
J
:=
I∈I I ⊆ R wieder ein
S
Ideal und UJ = I∈I UI , denn für jedes p ∈ Spec(R) gilt:
p ∈ UJ ⇔ J 6⊆ p ⇔ ∃I ∈ I : I 6⊆ p ⇔ ∃I ∈ I : p ∈ UI .
Seien I, J Ideale und bezeichne IJ ⊆ R die Menge aller endlichen Summen von
Produkten der Form ab mit a ∈ I und b ∈ J. Dann ist IJ ein Ideal und UIJ =
UI ∩ UJ , denn für jedes p ∈ Spec(R) gilt:
p ∈ UI ∩ UJ ⇔ ∃f ∈ I, g ∈ J : f, g 6∈ p
⇔ ∃f ∈ I, g ∈ J : f g 6∈ p ⇔ IJ 6⊆ p ⇔ p ∈ UIJ .
Hier wird für die zweite Äquivalenz verwendet, dass p ein Primideal ist.
(b) Alle Mengen der Form
Uf = {p ∈ Spec(R) : f 6∈ p}
(f ∈ R)
bilden eine Basis der Zariski-Topologie.
Lösung: Wir zeigen zunächst, dass Uf für jedes f ∈ R offen ist. Bezeichne (f ) =
Rf ⊆ R das von f erzeugte Hauptideal. Dann gilt für jedes p ∈ Spec(R)
f ∈ p ⇒ (f ) ⊆ p,
f 6∈ p ⇒ (f ) 6⊆ p,
also Uf = U(f ) .
Jede offene
S Menge UJ ist Vereinigung von Mengen der Form Uf : nach Definition
ist UJ = f ∈J UJ .
Schließlich folgt aus der Definition von Primidealen Uf ∩ Ug = Uf g .
(c) Ist S ein weiterer kommutativer Ring mit Eins und π : R → S ein Ringhomomorphismus, so ist die Abbildung
π ∗ : Spec(S) → Spec(R), p 7→ π −1 (p)
stetig bezüglich der Zariski-Topologie.
Lösung: Das Urbild jeder offenen Menge ist offen, weil (π ∗ )−1 (Uf ) = Uπ(f ) für
jedes f ∈ R: Ist q ∈ Spec(S), so gilt
π ∗ (q) ∈ Uf ⇔ f 6∈ π −1 (q) ⇔ π(f ) 6⊆ q ⇔ q ∈ Uπ(f ) .
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