Lösung eines Anfangswertproblems mit sukzessiver Approximation
nach Picard–Lindelöf. Betrachte die Gleichung
y 0 (x) = −2xy(x),
y(0) = 1.
Dieses Anfangswertproblem erfüllt die Voraussetzungen des globalen Existenz– und
Eindeutigkeitssatzes von Picard–Lindelöf. Anwendung der sukzessiven Approximation liefert
y (0) (x)
=
1
Z x
x
y (x) = y +
−2ty (t) dt = 1 −
2x dt = 1 − x2 = 1 − x2 ,
0
0
0
Z x
Z x
x4
y (2) (x) = y (0) +
−2ty (1) (t) dt = 1 −
2t 1 − t2 dt = 1 − x2 + ,
2
0
0
Z x Z x
4
t
2t 1 − t2 +
−2ty (2) (t) dt = 1 −
dt
y (3) (x) = y (0) +
2
0
0
x4
x6
= 1 − x2 +
− ,
2
6
..
.
k
∞
X
−x2
2
= e−x .
y(x) =
k!
(1)
(0)
Z
x
(0)
k=0
Einsetzen in das Anfangswertproblem bestätigt die Richtigkeit der Lösung.
1

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