Blatt 1 - Universität Heidelberg

Universität Heidelberg
Interdisziplinäres Zentrum
für Wissenschaftliches Rechnen
Dr. Stefan Körkel
Anja Bettendorf
Übungen zur Numerischen Mathematik
Sommersemester 2015
Übungsblatt 1
1. Problemtransformationen
(a) Schreiben Sie das folgende System gewöhnlicher Differentialgleichungen vierter Ordnung
v (4) (t) = v̈(t) − 3w(t)
w(4) (t) = 10v̇(t) + w(t)
als ein System gewöhnlicher Differentialgleichungen erster Ordnung. Welche Anfangswerte müssen vorgegeben werden, um Existenz und Eindeutigkeit der Lösung zu erhalten?
(b) Gegeben sei die Thomas-Fermi-Differentialgleichung
3
y 2 (t)
, y(0) = y0 6= 0, ẏ(0) = z0 .
1
t2
Diese Form verletzt die Lipschitzbedingung und ist zudem nicht geeignet als Eingabe
zur numerischen Integration. Transformieren Sie diese Gleichung in ein System erster
Ordnung, welches der Lipschitzbedingung genügt.
Hinweis: Verwenden Sie die Substitutionen
1
ẇ(s)
s = t 2 , y(t) = w(s), u(s) =
.
s
ÿ(t) =
2. Lineare Differentialgleichung
Bestimmen Sie eine Lösung des Anfangswertproblems
2ẏ1 = −101y1 + 99y2 ,
2ẏ2 = 99y1 − 101y2
mit y1 (0) = 0 und y2 (0) = 2.
3. Modellierung eines dynamischen Prozesses
Die Austenit-Perlit-Phasenumwandlung in Stahl bei konstanter Temperatur kann durch die
Johnson-Mehl-Avrami-Gleichung
n t
p(t) = p̄ 1 − exp −
, t≥0
(1)
τ
modelliert werden. Dabei bezeichnet p(t) den Perlit-Anteil zur Zeit t ≥ 0, p̄ ∈ [0; 1] ist der
Gleichgewichts-Perlit-Anteil, und n, τ ∈ sind positive, material- und temperaturabhängige
Parameter.
R
(a) Skizzieren Sie den Graphen von p(t).
(b) Leiten Sie aus (1) eine autonome gewöhnliche Differentialgleichung her der Form
ṗ = f (p).
Geben Sie den Definitionsbereich der Funktion f an.
(c) Zeigen Sie, dass für Anfangswerte p(0) ∈ [0; p̄] die Lösung der Differentialgleichung die
Beziehung p(t) ∈ [0; p̄] für alle t ≥ 0 erfüllt und dass für p(0) = 0 gilt p(t) ≡ 0.
4. Harmonischer Oszillator
Ein harmonischer Oszillator werde durch eine periodische Kraft F = A cos(γt) angetrieben.
Lösen Sie die Bewegungsgleichung
mẍ + f x = A cos(γt)
und diskutieren Sie das Ergebnis.
Abgabe bis Mittwoch, 29.4.
Praktische Aufgabe: Aufruf eines Integrators
Schreiben Sie ein Computerprogramm zur Lösung von Anfangswertproblemen. Rufen Sie dazu ein
numerisches Integrationsverfahren auf, z. B. eine geeignete Matlab-, Octave- oder Python-SciPyMethode oder eine geeignete C- oder Fortran-Funktion. Recherchieren Sie diese im Internet und
auch, welches Verfahren in der Methode implementiert ist.
Alternativ können Sie auch den Integrator difsys verwenden, den Sie sich hier herunterladen
können:
http://hgs.iwr.uni-heidelberg.de/expdesign/people/skoerkel/download/?dir=difsys
Wenden Sie das Programm auf das Anfangswertproblem aus Aufgabe 2 an und plotten Sie die
Lösung.
Abgabe bis Mittwoch, 6.5.
Webseite: hgs.iwr.uni-heidelberg.de/expdesign/teaching/ss15/Numerik1/

Download Report