Übungsblatt Nr. 5

Übungen zur Vorlesung
Gewöhnliche Differentialgleichungen
Wintersemester 2016/17
H. Olbermann
Übungsblatt Nr. 5, Abgabe 18.11.16 vor der Vorlesung
Aufgabe 1: Lipschitz-Stetigkeit, 5 Punkte (1+1+1+2)
Erinnerung: Es sei U ⊂ Rn . Eine Funktion f : U → Rm heißt Lipschitz-stetig, falls es ein L ≥ 0
gibt, sodass
k f (x) − f (x0 )k ≤ Lkx − x0 k ∀x, x0 ∈ U .
Zeigen Sie folgende Aussagen:
(i) Es sei U ⊂ Rn kompakt und g ∈ C1 (U; Rm ). Dann ist g auf U Lipschitz-stetig.
(ii) Es gibt Funktionen, die Lipschitz-stetig sind, aber nicht überall differenzierbar.
(iii) Die Funktion f (x) = (x2 )1/3 ist stetig, aber nicht Lipschitz-stetig auf [−1, 1].
(iv) Es sei U ⊂ Rn , und f, g : U → R seien Lipschitz-stetig. Dann ist auch die Funktion
x 7→ min( f (x), g(x)) Lipschitz-stetig.
Aufgabe 2: Iteration ohne Lipschitz-Bedingung, 7 Punkte (1,5+2,5+3)
(i) Es sei D ⊂ R1+N kompakt, f ∈ C0 (D; RN ), und (λk )k∈N sei die Folge der Picard-Iterierten
für das AWP
( 0
y (x) = f (x, y(x))
y(x0 ) = y0 .
Entscheiden Sie, ob die folgende Aussage wahr oder falsch ist (mit Beweis): Falls (λk )k∈N
gleichmäßig konvergiert, ist der Limes λ∞ eine Lösung des AWP.
(ii) Es sei D := {(x, y) : |x| ≤ 1, |y| ≤ 1}, und



0





2x
g(x, y) = 
y


2x − 4 x




−2x
für x = 0, |y| ≤ 1,
für 0 < |x| ≤ 1, −1 ≤ y < 0,
für 0 < |x| ≤ 1, 0 ≤ y < x2 ,
für 0 < |x| ≤ 1, x2 ≤ y ≤ 1 .
Zeigen Sie, dass g : [−1, 1]2 → R stetig, aber g(x, y) nicht lokal Lipschitz-stetig bezüglich
y ist.
(iii) Bestimmen Sie die Folge der Picard-Iterierten (λk )k∈N für das AWP
( 0
y (x) = g(x, y(x))
y(0) = 0
auf [−1, 1], mit g wie in (ii). Zeigen Sie, dass konvergente Teilfolgen existieren, deren
Limes keine Lösung des AWP ist.
Aufgabe 3: Existenz auf ganz R Teil I, 4 Punkte
Es sei f ∈ C0 (R2 ) und für jedes a > 0 sei f (x, y) Lipschitz-stetig bezüglich y auf [−a, a] × R (mit
einer Lipschitz-Konstante, die von a abhängen darf). Zeigen Sie, dass das AWP
( 0
y (x) = f (x, y(x))
y(x0 ) = y0
für jedes (x0 , y0 ) ∈ R2 eine eindeutige Lösung auf ganz R besitzt.
Anleitung: Zeigen Sie, dass Sie für jedes a ∈ R die Folge der Picard-Iterierten (λk )k∈N auf
[x0 − a, x0 + a] wohldefiniert und gleichmäßig konvergent ist. Verfahren Sie dann weiter wie im
Beweis des Satzes von Picard-Lindelöf.
Aufgabe 4: Existenz auf ganz R Teil II, 4 Punkte
Zeigen Sie, dass für jedes (x0 , y0 ) ∈ R2 das Anfangswertproblem
( 0
y (x) = sin xy(x)
y(x0 ) = y0
eine eindeutige Lösung auf ganz R besitzt.

Download Report