Übungen zur Vorlesung Gewöhnliche Differentialgleichungen Wintersemester 2016/17 H. Olbermann Übungsblatt Nr. 5, Abgabe 18.11.16 vor der Vorlesung Aufgabe 1: Lipschitz-Stetigkeit, 5 Punkte (1+1+1+2) Erinnerung: Es sei U ⊂ Rn . Eine Funktion f : U → Rm heißt Lipschitz-stetig, falls es ein L ≥ 0 gibt, sodass k f (x) − f (x0 )k ≤ Lkx − x0 k ∀x, x0 ∈ U . Zeigen Sie folgende Aussagen: (i) Es sei U ⊂ Rn kompakt und g ∈ C1 (U; Rm ). Dann ist g auf U Lipschitz-stetig. (ii) Es gibt Funktionen, die Lipschitz-stetig sind, aber nicht überall differenzierbar. (iii) Die Funktion f (x) = (x2 )1/3 ist stetig, aber nicht Lipschitz-stetig auf [−1, 1]. (iv) Es sei U ⊂ Rn , und f, g : U → R seien Lipschitz-stetig. Dann ist auch die Funktion x 7→ min( f (x), g(x)) Lipschitz-stetig. Aufgabe 2: Iteration ohne Lipschitz-Bedingung, 7 Punkte (1,5+2,5+3) (i) Es sei D ⊂ R1+N kompakt, f ∈ C0 (D; RN ), und (λk )k∈N sei die Folge der Picard-Iterierten für das AWP ( 0 y (x) = f (x, y(x)) y(x0 ) = y0 . Entscheiden Sie, ob die folgende Aussage wahr oder falsch ist (mit Beweis): Falls (λk )k∈N gleichmäßig konvergiert, ist der Limes λ∞ eine Lösung des AWP. (ii) Es sei D := {(x, y) : |x| ≤ 1, |y| ≤ 1}, und 0 2x g(x, y) = y 2x − 4 x −2x für x = 0, |y| ≤ 1, für 0 < |x| ≤ 1, −1 ≤ y < 0, für 0 < |x| ≤ 1, 0 ≤ y < x2 , für 0 < |x| ≤ 1, x2 ≤ y ≤ 1 . Zeigen Sie, dass g : [−1, 1]2 → R stetig, aber g(x, y) nicht lokal Lipschitz-stetig bezüglich y ist. (iii) Bestimmen Sie die Folge der Picard-Iterierten (λk )k∈N für das AWP ( 0 y (x) = g(x, y(x)) y(0) = 0 auf [−1, 1], mit g wie in (ii). Zeigen Sie, dass konvergente Teilfolgen existieren, deren Limes keine Lösung des AWP ist. Aufgabe 3: Existenz auf ganz R Teil I, 4 Punkte Es sei f ∈ C0 (R2 ) und für jedes a > 0 sei f (x, y) Lipschitz-stetig bezüglich y auf [−a, a] × R (mit einer Lipschitz-Konstante, die von a abhängen darf). Zeigen Sie, dass das AWP ( 0 y (x) = f (x, y(x)) y(x0 ) = y0 für jedes (x0 , y0 ) ∈ R2 eine eindeutige Lösung auf ganz R besitzt. Anleitung: Zeigen Sie, dass Sie für jedes a ∈ R die Folge der Picard-Iterierten (λk )k∈N auf [x0 − a, x0 + a] wohldefiniert und gleichmäßig konvergent ist. Verfahren Sie dann weiter wie im Beweis des Satzes von Picard-Lindelöf. Aufgabe 4: Existenz auf ganz R Teil II, 4 Punkte Zeigen Sie, dass für jedes (x0 , y0 ) ∈ R2 das Anfangswertproblem ( 0 y (x) = sin xy(x) y(x0 ) = y0 eine eindeutige Lösung auf ganz R besitzt.
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