Blatt 3 - Fachbereich Mathematik

Prof. Dr. I. Steinwart
Dr. R. Walker
Dr. D. Zimmermann
M.Sc. A. Reiswich
Universität Stuttgart
Fachbereich Mathematik
Höhere Mathematik II
Blatt 3
29.04.16
el, kyb, mecha, phys
Gruppenübungen
Abgabe der schriftlichen Aufgaben und Besprechung der Votieraufgaben am 22.04.2016 in den
Übungsgruppen.
Aufgabe 11. (schriftlich)
(a) Geben Sie für die folgenden Differentialgleichungen jeweils an, ob diese linear und/oder
separierbar sind.
2
i) y 0 (t) = e−t y(t) + 1
iii) y 0 (t) = ty(t) + t
ii) y 0 (t) + (y(t))2 − ty(t) = 0
iv) y 0 (t) = |y(t)|
(b) Bestimmen Sie die Lösung der Differentialgleichung
y 0 (t) =
2y(t)
+ t,
3t
y(1) = 1.
Aufgabe 12. Zeigen Sie, dass das uneigentliche Integral
Z ∞
sin(x) x dx
−∞
divergiert.
Hinweis: Es ist sin(x) =
1
2
√
2>
1
2
für alle x ∈ 2πk + π4 , 2πk + 34 π , k ∈ Z.
Aufgabe 13.
Let f, g : [0, ∞) × R → R be continuous functions with f (t, x) < g(t, x) for all t = 0 and all
x ∈ R. Furthermore, let u : [0, ∞) → R be a solution of the differential equation
u0 (t) = f (t, u(t))
and v : [0, ∞) → R be a solution of the differential equation
v 0 (t) = g(t, v(t)).
Show the following: If u(0) = v(0), then u(t) < v(t) for all t > 0.
Hint: Consider ϕ := (u − v) and show that ϕ(t) = 0 implies ϕ0 (t) < 0.
Aufgabe 14. Bestimmen Sie durch eine geeignete Substitution die allgemeine Lösung der Differentialgleichung
y(t)
y 0 (t) = tey(t)/t +
.
t
1
Aufgabe 15. Bestimmen Sie die allgemeine Lösung (u, v) des Differentialgleichungssystems
u0 (t) = u(t) − 13 v(t),
v 0 (t) =
2v(t).
2

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