Blatt 3 der Übungen zur Vorlesung Gewöhnliche Differentialgleichungen von PD Dr. Peter Philip, LMU München, Sommersemester 2016 Dr. Jan Swoboda 26. April 2016 1. (10 Punkte) Lösen Sie das Anfangswertproblem ( xy 0 = y + 2xy 2 , y(1) = 1. Wie lautet das maximale Intervall, auf dem die Lösung definiert ist? 2. (10 Punkte) Lösen Sie das komplexwertige Anfangswertproblem ( y 0 = xy , iπ y(0) = e 4 . Wie lautet das maximale Intervall, auf dem die Lösung definiert ist? K 3. (3+3+4 Punkte) Es sei (fm )m∈N eine Folge von Funktionen fm : I → n . Zeigen Sie durch Angabe je eines Gegenbeispiels, dass die Aussage des Satzes von Arzelà-Ascoli falsch ist, falls auch nur eine der folgenden Bedingungen verletzt ist: (a) punktweise Beschränktheit der fm ; (b) Beschränktheit des Intervalls I; (c) gleichmäßige gleichgradige Stetigkeit der fm ; 4. (5+5 Punkte) Wir betrachten das Anfangswertproblem ( (y 2 + 1)y 0 = x2 + 1, y(x0 ) = y0 . Zu b = (x0 , y0 ) ∈ R2 bezeichne 2αb die im Beweis des Satzes von Peano konstruierte minimale Länge des Existenzintervalls des Anfangswertproblems zum Anfangswert b ∈ R2 (bei fest gewählter Norm auf dem Bildbereich). (a) Zeigen Sie, dass zu jedem b ∈ R2 eine Konstante Mb ∈ R existiert, so dass die minimale Länge 2αa die Abschätzung 2αb ≤ Mb erfüllt. (b) Zeigen Sie andererseits, dass das maximale Existenzintervall des Anfangswertproblems für jedes b ∈ R2 gleich R ist. Abgabe des Übungsblattes bis Freitag, 06.05.2016, 14 s. t., im Kasten zur Vorlesung neben der Bibliothek. Hinweis: Es erfolgt eine Punkteteilung bei gemeinsamer Abgabe, das heißt, die Punkte einer Aufgabe werden zwischen allen, die identische oder abgeschriebene Lösungen für die Aufgabe abgeben, geteilt. Weitere Hinweise zur Vorlesung und den Übungen sind auf der Seite http://www.math.lmu.de/~swoboda/DGL_SoSem16.html zu finden.